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1、经 管 数 学,第三节 连续型随机变量的分布,2.3、连续型随机变量的分布,2.3.1、连续型随机变量的概率密度函数,由于连续型随机变量取值可以充满某个区间，为了研究其概率分布，类似于质量分布的求法，已知质量分布的线密度函数 (x) 时，在区间a,b上分布的质量m可由质量密度函数积分求得，即,引入概率密度函数的概念计算连续型随机变量的分布。,定义 2.5,对于任何区间a,b，如果存在可积函数,使在a,b取值的概率,（2.3.1）,则称(x)为连续型随机变量的概率密度函数（简称为密度函数），记为(x)。,概率密度函数需满足以下条件：,且当(x)在x处连续时,对于连续型随机变量，显然有,对于连续型
2、随机变量，其分布函数为F(x)，则,（2.3.2）,案例分析见7.127.15,0, 是正态分布的两个参数.,定义2.6,2.3.2、 正态分布,如果随机变量的概率密度是,则称服从正态分布，记作,其中,为(x)的拐点的横坐标.,概率密度(x)具有如下性质：,1、,即概率密度曲线都在x轴上方.,(x)以x=为对称轴，并在x=取得最 大值：,3、,时，,这说明曲线(x)向左、右伸展时，无限接近x轴，即(x)以x轴为渐近线.,4、,2、,当,正态分布的概率密度曲线,图2-4,结论：,图2-5（a）,图2-5（b）,决定对称轴位置,决定中峰陡峭程度,较大时，峰较平缓,较小时，峰较陡峭,参数,对曲线位置
3、与形状的影响：,=0,=1时的正态分布称为标准正态分布， 记作 N(0,1) 。 通常用(x)表示标准正态分布的概率密度函数，用 (x)表示分布函数,定义2.7,标准正态分布的概率密度函数和分布函数的图形,标准正态分布的重要性在于，一般的正态分布都可以转化为标准正态分布进行研究.,图2-6,则,定理,证明,故,设,利用定理1和标准正态分布函数(x)数值表可解决一般正态分布的概率计算问题.,(1) P (X2) (3) P (-1X3); (4) P (|X|2),解,例1,设,计算,一般 , 设, 则有,例2,解,一般,设,计算,由, 根据定理1, 则有,设,案例分析见2.162.18,案例2
4、.12,某线路公共汽车每隔6分钟开出一辆，乘客到车站候车时间是一个随机变量.且在0,6上任一子区间内取值的概率与这区间长度成正比，求的分布函数F(x)及密度函数(x).,解,因此=1/6.,取且仅取0,6的实数，即,是必然事件,若,，有,为比例常数.,特别地，取c=0，d=6,案例分析,F(x)的图形如图7-6所示.,0,6,1,x,F(x),对F(x)求导数得密度函数为,图7-6,得到F(x)的定义,解,案例2.13,则称在区间a,b上服从均匀分布，记为 U(a,b).试求及F(x).,由（2.3.2）式，有,若的概率密度为,（2.3.3）, 试求的分布函数F(x).,案例2.14,解,由（
5、2.1.10）式，有,若的概率密度为,其中0，则称服从参数为的指数分布，记为,各种“寿命”分布近似地服从指数分布，如随机服务系统中的服务时间、某些消耗性产品（电子元件等）的寿命等，常假定服从指数分布.假若产品的失效率为，则产品在t(t0)时间失效（即寿命为t）的分布函数为,而产品的可靠度为,解,案例2.15,的指数分布.3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是多少?,各元件寿命相互独立，因此3个这样的元件使用1000小时都未损坏的概率可看成3重贝努里试验中3次试验都成功的概率为,某元件寿命服从参数为,参数为的指数分布函数为,案例2.16,某厂生产一种设备，其平均寿命为10年，标准差
6、为2年.如该设备的寿命服从正态分布，求寿命不低于9年的设备占整批设备的比例？,设随机变量为设备寿命，由题意,解,得到,解,案例2.17,现从这批零件中任取一件,问: (1)长度与其均值的误差不超过0.3厘米的概率是多大? (2)能以0.95的概率保证零件长度与其均值的误差不超过多少厘米?,即误差不超过0.3厘米的概率为0.8664.,设一批零件的长度X (厘米)服从正态分布,因为,所以,即能以0.95的概率保证长度与其均值误差不超 过0.392厘米.,（2）依题意,求,因为,得,即,查表得,即,考试分与标准分的转换。由于各考试科难易不同，评分标准不同，各科考分的分值是不同的。为了科学地比较总分
7、，将各科考试原始分转化为标准分Z，设,案例2.18,则,再将Z转化均值为50，标准差为10的标准分T，即T=10Z+50。例如，比较甲、乙两学生数学、语文、外语三科总成积，转化为标准分如下页表2-7。,表2-7,由表2-7可见，若看原始分数总和乙优于甲；若看标准分数总和甲优于乙。由于语文平均分偏低，说明较难，而甲高出乙4分，尽管数学，外语成绩乙高出甲6分，但数学、外语的分值低于语文的分值。表的最右列T分数是为了消除Z分数中的负值，并尽可能标准分数与原始分数相近，T分数所起作用同Z分数。,评注,课堂练习题,习题一、设某种元件的寿命(以小时计)的概率密 度为 一台设备中装有三个这样的元件求： (1
8、)最初1500小时内没有一个损坏的概率； (2)只有一个损坏的概率,课堂练习题,习题二、设随机变量x服从正态分布N(3，4),求 (1)P2X5； (2)P-4x10； (3)P I X I 2； (4)PX3； (5)常数C，使得PXC=PXC,课堂练习答案,习题一、 【分析】设一个元件的寿命为x，则它在1500小时 内损坏的概率为 各个元件损坏与否是相互独立的且分布相同，故 三个元件使用1500小时后损坏个数服从二项分 布B(3，1/3),(2)只有一个损坏的概率为：,【解答】(1)最初1500小时内没有一个损坏的概率为：,习题二、 【分析】一般随机变量x服从正态分布N(， )，其 概率为 这里的()是标准正态分布， 有表可查，且由对称性有 (-)=1- (+).,【解答】(1).,(2).,【解答】(3).,(4).,【解答】(5).若C使得,则,即得,因此C=3.,
