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1、行列式中行与列具有同等的地位，行列式的 性 质凡是对行成立的对列也同样成立.,计算行列式常用方法：,行列式的6个性质：,(1)利用定义;,(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,知识回顾：,实例分析,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例1,（具体过程请参考上节课件）,行列式计算的特点：,（2）运算过程中既可对行运算也可以对列运算,（1）是整行（列）进行运算，计算过程用“=”,（3）可同时进行几种运算，但运算次序不可随意颠倒 （参看书P13-14）,（4）计算时注意看清行列式的阶数。,（1）,（2）,练习：计算下列行列式,（提示： ）,提示： （所有
2、行都减最后一行）,例如：,降阶？,余子式与代数余子式,6 行列式按行(列)展开,例题分析,行列式按行(列)展开法则,例 计算 的余子式,一、余子式,二、代数余子式,例 计算 的代数余子式,叫做元素 的代数余子式,行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 元 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,三、行列式按行（列）展开法则,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,或,Proof：,解 选一行（或列）具有较多的0元素的展开式， 按第三行展开，得,(技巧是：按0较多的行或列展开降阶),
3、例1 计算行列式,解,例2计算,计算n阶行列式,P28 7(6),（提示： ）,(书P18例12)范德蒙德(Vandermonde)行列式,例5利用范德蒙行列式计算,推论 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0。,代数余子式的重要性质（P20）,例13(P21): 使用推论的证明技巧 Solution,2.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具；,四、小结,1.区别余子式和代数余子式，并注意其计算；,3. 注意范德蒙行列式的形式与计算结果，利用范德蒙行列式计算；,4. 代数余子式的重要性质：,2020/7/16,关于齐次线性
4、方程组的结论,7 克拉默(Cramer)法则,克拉默法则,克拉默法则的理论价值,一、克拉默法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,proof (see p 52),其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为,2020/7/16,(1) 个方程, 个未知数 的线性方程组:,注：克拉默(Cramer)法则的使用前提：,(2) 系数行列式不等于0:,例1 用克拉默则解方程组（p22 例14）,定理4 如果上述线性方程组无解或有两个以上 不同的解，则它的系数行列式必为零.,二、克拉默法则的理论价值,
5、定理4,设线性方程组,此时称方程组为齐次线性方程组.,三、非齐次与齐次线性方程组的概念,定理5,定理5 ,注：齐次方程组一定有零解，但不一定有非零解。,该齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,1. 用克拉默法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,四、小结,本章内容要点：,1、会求二阶、三阶行列式；计算逆序数；,2、掌握行列式的性质和行列式的展开定理，会利用其进行n阶行列式的计算。,3.区别余子式和代数余子式，并注意其计算；,4、注意克拉默
6、法则解方程组的两个条件；及其掌握判断方程组解的结论,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列 式为零.,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘 以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零,性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.例如第 列的元素为两数之和：,性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变,证明：采用数学归纳法,(),() 假定对 阶Vandermonde行列式，结论成立。,采用降阶的方法：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有,
