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1、第二章随机变量的分布与数字特征,2.4随机变量的数字特征,一、随机变量的数字期望,1、离散型随机变量的数学期望,例2.24 一个年级有100个学生，年龄组成为:17岁的2人;18岁的2人;19岁的30人20岁的56人;21岁的10人,求该年级学生的平均年龄。,定义2.13,（又称,均值）为,例,甲, 乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们的分布律分别为,试评定他们的成绩的好坏.,解,而乙所得分数的,数学期望为,很明显,乙的成绩远不如甲的成绩.,例2.25 一批产品有一、二、三等品及废品共4级，相应比例为60%,20%,10%,10%若各等级产品的产值分别为6元,5.5元,4元及-1元，求产品的
2、平均产值，,解,设一个产品的产值为X元，依题意，X的概率分 布如图,（元）,例2.26 已知盒内有5个球，其中2个白球，3个黑球，从中一次摸出3个球，计算摸到的白球个数X的数学期望EX。,解:X只取、1、2各值，,根据古典概型公式,容易求出各概率值：,例2.27 设甲袋内有3个白球与3个黑球，乙袋内有3个白球，现从甲袋内任意摸出3个球放入乙袋。求 （1）乙袋内黑球个数X的数学期望； （2）从乙袋内再任取一球是黑球的概率,解,（1）X只取0、1、2、3各值,所以计算出概率得X的概率分布为,（2）设事件B=“从乙袋内任摸一球为黑球”由于事件B发生的概率与乙袋内黑球的个数也就是从甲袋中取出的黑球个数
3、有关，,是一个完备事件组，,根据全,概率公式,补例1 掷一枚骰子，X表示出现的点数，求EX.,解：,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,EX=11/6 + 21/6 + 31/6 + 41/6 + 51/6 + 61/6,=3. 5,补例2设X的分布律为,X -1 0 1,P 0.3 0.2 0.5,求EX.,解：,EX= -10.3 + 00.2 + 10.5,=0.2,练习：,X -1 0 1 2,P 0.2 0.3 0.1 0.4,求EX.,2、连续型随机变量的数学期望,定义2.14,其密度函数为,如果,绝对收敛，,例,求,解,故,解,求 EX
4、,例2.28 设随机变量X的概率密度函数为,其他,补例,设随机变量,且,解,由题意知,解方程组得,例2.29 设随机变量X的概率密度函数为,其他,求 EX,解,例2.30 设随机变量X的概率密度函数为,讨论EX的存在性,解,因此EX不存在,此例说明，并不是所有随机变量的期望都是存在的,、随机变量函数的数学期望,设x是一个随机变量，,g(x)是x的一个实值函数,如果当随机变量X取x值，,另一个随机变量Y取值g(x),则称随机变量Y是X的函数，,记作g(x).,如果一个函,这个函数本身也是随机变量且它 是作为自变量是随机变量的函数。,这里我们首先讨论如何根据随机变量X的分布计 算X的函数Y=g(x
5、)的数学期望,数的自变量，那么,定理2.8,在,于是,(1),其概率分布为,(2),其概率密度为,则,的数学期望为,推论 （1）对于任意实数a，Ea=a。,（2）如果EX存在，对任意实数a，都有,（3）若 的期望都存在，则对任意实数,都有,特别的,例2.31设随机变量X的概率分布由表所示,解,例2.32 是随机变量X服从期间a,b上的均匀分布，求EX与 .,解 依题意，X的概率密度函数为,其他,例2.33 设X服从期间 上的均匀分布,求,解 依题意，X的概率密度函数为,其他,引例： 现有甲、乙两位射手，甲射手射击中命 中的环数用X表示，乙射手射击中命中的环数用Y 表示，甲、乙两射手射击中命中的
6、环数分布分别 为：,现在问甲、乙两位射手谁的射击水平更稳定些？,二、随机变量的方差,定义2.15 设随机变量X平方的数学期望存在,即,则称,为随机变量,X的方差，,称,为X的标准差.,根据随机变量函数的期望公式，若离散型随机变 量X的概率函数为,则,若连续性随机变量X的概率密度函数为 则,2、方差性质,设随机变量X的方差DX存在，则对任意实数 a，都有,（1）,（2）,（3）,特别的,（5）,（4）,例2.35 X表示掷一颗均匀骰子掷出的点数求X的期望和方差。,解：,X 1 2 3 4 5 6,P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,例2.36 设连续型随机变量X的概率密度函数为,其他,求X的方差DX,所以,例2.39 已知随机变量X服从二项分布 且 ,求X的概率函数与分布函数.,解,解得q=0.2，p=1-q=0.8，n=3,于是X的概率函数与分布函数分别是,例2.40 设随机变量X服从期望为1的指数分布， 求概率,解 由于,例2.41 设随机变量X服从期望值为0，方 差为 的正态分布,已知 求 的值。,解 设X的分布函数为F(x),则,根据题设条件,查正态分布表知,四、随机变量的矩,定义2.16 设X是一个随机变量,如果 则称,为X的n阶原点矩,为X的n阶中心矩,
