《一次促进三角函数学习的深度对话.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一次促进三角函数学习的深度对话.docx（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一次促进三角函数学习的深度对话背景 课外活动时，班上的四名学生走进了我的办公室，开始了一次关于三角函数学习的对话.最近，在三角函数的教学过程中，我发现学生掌握得不太理想，如学生感觉三角函数公式多，不能熟练运用，图象和性质掌握不好等等.学生会出现这些问题，关键还是对三角函数本质的理解不够深入，不能做到融会贯通，所以我首先引导学生理解三角函数的概念，作为此次对话的开端. 话题开始：三角函数是一种特殊的函数生 最近学习三角函数遇到了一些困难，公式多，题型多，千头万绪，经常要用很长时间才能解一道题，不知该怎么办？师从三角函数在高考试卷中的地位来看，一般为大题的第一个解答题，要求并不高，但要想达到很高的
2、熟练程度，就必须加深对三角函数本质的理解，应从理解三角函数的概念开始.生三角函数不就是角的正弦、余弦和正切吗？师不全面，三角函数是以角为自变量的一种特殊函数，知道这里对角一般有什么样的要求吗？生 （摇摇头）不知道.师 角最好用弧度制来表示，因为在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系，这样就成为一种特殊的函数.不仅如此，弧度制在高等数学中还有更大的作用和更深远的影响.生 原来弧度制这么重要，我原先以为弧度制仅仅是角的一种表示方法而已.师 函数是我们高中数学的主轴，而三角函数更是有着它的特殊性，如周期性、正弦余弦函数的有界性，以及在用三角函数解应用题时，选用角作为函数自变量可能会更有
3、利于解决问题.生我知道了，三角函数是一种特殊的函数，学习中应将已学到的函数知识和方法运用到三角函数的学习中，加深对三角函数本质的理解.师 很好！俗话说，登高望远就是这个道理.话题继续：抓住三角函数之间的联系，融会贯通生三角函数性质很多，始终记不牢，解题过程中常常张冠李戴，错误百出，不知道怎么才能解决？师 几乎所有的性质都能从图象上观察到！因此，最重要的是正确画出函数的图象.通过函数图象之间的联系，可以由此及彼地掌握各种函数的图象.生 对啊！只要将正弦函数的图象沿横轴向左平移2个单位即可得到余弦函数的图象.师 是的，这正反映了正弦和余弦函数之间的紧密关系，也体现了三角函数内部的融通.生 太好了！
4、由图象关系也能得出诱导公式sinx+2=cosx，这样诱导公式变得生动起来了，不再是一些缺乏生机的机械的公式，记忆起来也更加方便了.还有，诱导公式sin（x+）=-sinx， cos（x+）=-cosx，我想，它们都可以通过图象的平移和对称来理解.师 很好！你终于懂得一些知识间的联系了，这就代表着好的开始.图象画好了之后，应研究哪些性质呢？生 和函数一样，首先是研究三角函数的定义域、值域，然后有单调性、奇偶性等.师 同时，三角函数也是一种特殊的函数，特殊在哪里呢？生 周期性.师 对，这个性质很容易从图象中看出来.生 图象真好！我从图象中就可以得到有关正弦、余弦和正切的重要性质，再也不用死记硬背
5、了！而且对于函数y=Asin（x+）的图象和性质我也能自己研究了，它是由y=sinx通过图象的变换得到的，和y=sinx有着紧密的联系.师 是的，性质可以从图象中来，再回到图象中去，相辅相成，相得益彰.生 诱导公式的推导，实际上也是从图形的对称性得到的啊！师 你能这样联想，我太高兴了.再举个例子看看.生 比如，余弦函数的图象显然是关于y轴对称的，所以它是偶函数，就有cos（-x）=cosx；同样的，正弦、正切函数的图象关于原点对称，是奇函数，就有sin（-x）=-sinx， tan（-x）=tanx.师 嗯，确实是一目了然，轻松记忆.话题深入：从函数视角提炼三角函数重点题型生三角函数题目难度感
6、觉不是很大，但好像类型非常多，经常感觉有些题目很陌生，无从下手，有时即使做出来了，但花费的时间也很多.师 从函数视角总结三角函数问题定会事半功倍，很多都是有规律的，这样就能做到以不变应万变，找找我们做过的练习，想想能总结出哪些重点问题？生 三角函数单调性问题，例如：已知函数f（x）=1-2sin2x+8+2sinx+8cosx+8，求函数f（x）的单调增区间.师 此类问题主要考查三角函数的增减性，很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解，辅助角公式要能熟练运用.生 根据三角函数的性质确定函数解析式问题，例如：已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0
7、|师这类问题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力，关键是根据图象的位置求出相关参数A， ， 等.生三角函数求值问题，例如：已知4师解决此类题，要求同学们能从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，从而达到解题的目的.生三角函数最值或值域问题，例如：已知函数f（x）=sin2x-2sin2x，求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合.师这一类题型要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域.解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角.生三角函数图象变换问题，例如：已知函数y=s
8、in2x+2sinxcosx+3cos2x-1，xR，该函数的图象可由y=sinx， xR的图象经过怎样的变换而得到？师三角函数的图象变换是一个重点内容，解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为y=Asin（x+）（A0， 0）的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的.特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“x”而言.生三角函数实际应用问题，例如：如图2，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D.现测得BCD=， BDC=， CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高
9、AB.图2师这类问题主要考查利用三角函数的性质及三角恒等变换解决有关实际应用问题.解题的关键是利用三角函数找出各有关元素的关系，从而建立起函数关系式.师大家总结得很好，系统地总结了一些题型，能大大提高学习效率和学习能力.话题升华：三角函数中蕴含的思想方法生我感觉基本题的解答还可以，而遇到稍难一点或老师课堂没讲过的问题，就会显得束手无策了.师确实有不少学生会有和你一样的困惑，如果对解题方法的总结再上升一步，提炼出数学思想方法来指导我们的解题，将会加深对三角函数的理解.数学思想方法属于方法范畴，是数学知识在更高层次上的抽象和概括.中学教学中，常用的数学思想有：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类
10、讨论的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想及算法思想等.你能说说在三角函数的解题中包含了哪些思想方法吗？生我首先想到的是函数与方程的思想、数形结合的思想.师很好！在某些等式条件中，可将其中的某些三角函数看作变量，借助解方程（组）的思想使问题得以解决.而数形结合的思想也是三角函数中重要的思想，它把抽象的数和直观的形双向联系与沟通，使抽象思想与形象思维有机地结合起来，化抽象为形象，以期达到化难为易的目的.三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）.生三角函数中应该还有分类讨论的思想，如已知角的某三角函数值，求的其余三角函数值或求角时，则应
11、分情况讨论的范围或所在象限，然后再求解.师 分类讨论能看出一个学生思维的严谨程度，分类讨论的思想就是整体问题分解为几个部分问题来解决，它有两个重要的原则，即不重复、不遗漏.生 三角函数与函数及数学其他内容都有联系，所以化归与转化的思想也经常用到.如用诱导公式把“求任意角的三角函数值”逐步化归为“求锐角的三角函数值”；把特殊化归为一般，如把正弦函数的图象逐步转化为函数y=Asin（x+）（A0， 0）的简图，把“已知三角函数值求特殊范围内的角”逐步化归为“求适合条件的所有角的集合”等；等价化归，如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式.师 谈得好！当然其他一些思想方法在三角函数的学习中也都有体现.学习中应积极思考，加深理解，提炼升华，这样就能看清本质，提升数学能力。
