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1、1 固体物理学部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种 结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以 Rf和 Rb代表面心立方和体心立方结构中最 近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf= 2 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb= 3 2 a 那么， Rf Rb = 2 3 a a = 6 3 1.2 晶面指数为（ 123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA、
2、 OB 和 OC 分别与基失a1， a2和 a3重合，除 O 点外， OA，OB 和 OC 上是否有格点？若 ABC 面的指数为（ 234） ，情况又 如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和 OC 分别与基失a1，a2和 a3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5 种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4 个指数（ hkil ）来表示，如图所示，前3 个指数表示晶面族中 最靠近原点的晶面在互成120的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数 表示该晶面的六重
3、轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k） 并将下列用 （ hkl）表示的晶面改用 （hkil ） 表示：（001）(133)(1 10) (323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（ hkil ）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n。因为晶面族（hkil ） 中最靠近原点的晶面ABC 在 a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此 1 2 3 o o o a nhd ankd anid (1) 正方 a=b ab=90 六方 a=b ab=120 矩形 ab ab=90 带心矩形 a=b ab=90 平行四边形 ab ab90 2 由于 a
4、3=（ a1+ a2） 313 () oo a naan 把（ 1）式的关系代入，即得 ()idhdkd ()ihk 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （ 001） （0001） ，( 1 3 3 )(1323)，(1 10)(1 100)，(323)(3213)， （100）(10 10)， （010）(0110)，(213)(2133) 1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立 方： 6 （ 2）体心立方： 3 8 （3）面心立方： 2 6 （4）六方密堆积： 2 6 （5）金刚石： 3 16 。 答：令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni
5、是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数， Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有： 111 248 ifec ZNNNN 边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 3 3 4 * 3 r FZ a 假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么： = 3 3 4/ 3 (2 ) r r = 6 （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为 4 3 r，那么： = 3 3 2 (4/ 3) (4/3 ) r r = 3 8 （3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的
6、长度为4r，则其边长为2 2r，那么： = 3 3 4 (4/ 3) (2 2 ) r r = 2 6 3 （4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（000） （1/3，2/3，1/2） ，在理想的密堆积情况下，密排六方 结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此 = 3 2 4 2() 3 3 2 r a c = 2 6 （5）对于金刚石结构 Z=8 38ar那么 3 3 3 443 *8() 338 r FZ a = 3 16 . 1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位） a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k ） ， 此处 i，j，k 为笛卡儿坐标
7、系中x，y，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答： （ 1）因为 a=3i，b=3j，而 c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c）式中c=3c。 显然， a、b、c构成一个边长为3*10 -10 m的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。 因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。 （2）晶胞的体积=c (ab)= 3k (3i3j)=27* 10 -30 (m 3) 原胞的体积 =c (ab)= 1 (333 ) (33 ) 2 ijkij=13.5* 10 -30 (m 3) 1.7
8、六方晶胞的基失为： 3 22 a aaij， 3 22 a baij，cck 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积 =a （b*c）= 2 3 2 a c 那么，倒格子的基矢为 1 2 ()bc b 22 3 ij aa ， 2 2 ()ca b 22 3 ij aa ， 3 2 ()ab b 2 k c 其第一布里渊区如图所示： 1.8 若基失 a，b，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为 222 1 ()()() hkl d hkl abc 答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，
9、a2，a3上的截距 4 分别为 1 a h ， 2 a k ， 3 a l 。该平面（ ABC ）法线方向的单位矢量是 123 dhdkdl nxyz aaa 这里 d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。 由|n|=1 得到 222 123 ()()()1 dhdkdl aaa 故 1 222 2 123 ()()() hkl d aaa 1.9 用波长为0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角 如下 序号1 2 3 4 5 / （）19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求： （1）各谱线对
10、应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距； （3）利用上两项结果计算晶格常数. 答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定： 2222 |1cos()sin() hkl IFfn hklfn hkl 考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有 当（h+k+l）为偶数时， 才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110） 、（200） 、 （211） 、 （220）和（ 310）的散射。由布喇格公式 2sin(1) hkl dn 得 10 110 1 1.5405 2.295 10() 2sin2sin19.611 o
11、 dm 同法得 10 200 2 1.633410() 2sin dm 10 211 3 1.337710() 2sin dm 10 220 3 1.160910() 2sin dm 10 310 4 1.040310() 2sin dm 5 应用立方晶系面间距公式 222 hkl a d hkl 可得晶格常数 222 hkl adhkl 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值 *10 -10m 为 3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897 取其平均值则得 10 3.2725 10()am 1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此
12、晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第 二布里渊区 . 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为 1 aai 2 13 22 aaiaj 用正交关系式 0 2 2, ij ijijij b a 求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 111xy bb ib j 222xy bb ibj 由 11 2b a 12 0b a 21 0b a 22 2b a 得到下面四个方程式 11 ()2 xy ai b ib j（1） 11 13 () ()0 22 xy aiajb ib j（2） 22 ()0 xy ai b ibj（3） 22 13 () ()2 22 xy aiajb ibj（4） 由（ 1）式可得：
13、1 2 x b a 由（ 2）式可得： 1 2 3 y b a 6 由（ 3）式可得： 2 0 x b 由（ 4）式可得： 2 4 3 y b a 于是得出倒易点阵基矢 1 22 3 bij a a 2 4 3 bj a 7 第三章习题答案 3.1 试求由5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m8.3510 27kg，恢复 力常数 15Nm 1 解：一维单原子链的解为 )(qnati nAeX 据周期边界条件 11N XX，此处 N=5,代入上式即得 1 )5(qai e 所以aq52（为整数） 由于格波波矢取值范围： a q a 。 则 2 5 2 5 故可取 2， 1，0，1
14、， 2这五个值 相应波矢： a5 4 , a5 2 ,0, a5 2 , a5 4 由于 2 sin 4qa m ，代入，m及 q 值 则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位） 8.0610 13，4.99 1013，0，4.99 1013，8.06 1013 3.2求证由 N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 2 1 22 )( 2 m N 式中 m m 4 是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为 N 解：对一维单原子链，dqqqdqddN2?)( 所以 dq d q2 （1） 由色散关系 2 sin 4qa m 求得 2/12 ) 2 sin1 ( 2 4
15、 22 cos 4qaa m aqa mdq d 2/12 ) 4 ( 2m a （2） 而 22 NaL q， 则由（ 1）式可得 2/ 1222/12 )( 2 4 22 2 m N m aNa 由于 m m 4 ，则总的振动模数为 d N dN m ww mm 2/1 2 2 00 )( 2 8 令 sin m ，则积分限为0到2/， 故 N N dN 2 0 1 2 0 2 coscos 2 3.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 2 3 9 m N 解：由书上（369）式可得 3 2 2 2 3 v vg（1） 由（ 3 71）可得vn mD 3/1 2 6
16、 由此可得nv m32 332 ，代入（ 1）式得 2 3 9 m N 3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m8.3510 27kg，另一种原子的质量 M 4m ，力常数 15N m 1，试求 （1）光学波的最高频率和最低频率 max 和 min ； （2）声学波的最高频率 A max ； （3）相应的声子能量（以eV 为单位）； （4）在 300K可以激发频率为 max ， min 和 A max 的声子的数目； （5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解： （1）m mM Mm 5 4 Hzrad 1313 max 1007. 1sec/1070.6 2 Hzrad m 1313 min 1095. 0sec/1099. 5 2 Hzrad M A1313 max 1048.0sec/1000. 3 2 （2）eV 2 max1041.4 eV 2 min 1095.3 eV A2 max1097.1 （3） 1 1 / kTw e n 9 221.0 maxn，27
