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1、2013广东高考文科数学试卷及答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A；【解析】由题意知，故；2. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】由题意知，解得且，所以定义域为； 3. 若，则复数的模是（ ）A. B. C. D. 【答案】D；【解析】因为，所以，根据两个复数相等的条件得：即，所以，的模；4. 已知，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C；【解析】；5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值是（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】D；【解析】时，；时，；时，；时，；图1 图26. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B；【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形，高为，所以该三棱锥的体积；7. 垂直于直线且与圆相切于第象限的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A；【解析】设所求直线为，因为垂直直线，故的斜率为，设直线的方程为，化为一般式为；因为与圆相切相切，所以圆心到直线的距离，所以，又因为相切与第一象限，所以，故，所以的方程为；8. 设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则
3、D. 若，则【答案】B；【解析】若与相交，且平行于交线，则也符合A，显然A错；若，则，故C错；，若平行交线，则，故D错；9. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D；【解析】由焦点可知可知椭圆焦点在轴上，由题意知，所以，故椭圆标准方程为； 10. 设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题： 给定向量，总存在向量，使； 给定向量和，总存在实数和，使； 给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使.上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A. B. C. D.
4、 【答案】D；【解析】因为单位向量（模为的向量，方向不确定）和一个不为零的实数可以表示任何一个向量，由题意可知A,B,C,D均正确；二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（1113题）11. 设数列是首项为，公比为的等比数列，则_；【答案】；【解析】由题意知，所以；12. 若曲线在点处的切线平行于轴，则=_；【答案】；【解析】因为，所以，因为曲线在点处的切线平行于轴，所以，所以；13. 已知变量满足约束条件，则的最大值是_；【答案】；【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为，代入可知的最大值为；（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）1
5、4. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为_；【答案】；【解析】因为曲线的极坐标方程为；所以 ，；可变形得：，可变形得：；由得：；15. （几何证明选讲选做题）如图，在矩形中，垂足为，则=_；【答案】；【解析】因为在矩形中，所以，所以；在中，因为，由余弦定理得：，所以；三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数.（1） 求的值；（2） 若，求.【答案与解析】（1）；（2）因为，所以；17. （本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取个，其重量（单位：
6、克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）（1） 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；（2） 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？（3） 在（2）中抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个的概率；【答案与解析】（1）重量在的频率；（2）若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，则重量在的个数；（3）设在中抽取的一个苹果为，在中抽取的三个苹果分别为，从抽出的个苹果中，任取个共有种情况，其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种；设“抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有一个”为事件，则事件的概率；18. （本小题满分14分）如图，在边长为的等边三角
7、形中，分别是上的点，是的中点，与交于点. 将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中.（1） 证明：；（2） 证明：；（3） 当时，求三棱锥的体积.图4 图5（1）证明：在图中，因为是等边三角形，且，所以，；在图中，因为，所以平面平面，所以； （2）证明：在图中，因为因为是等边三角形，且是的中点，所以；在图中，因为在中，所以，又因为，所以； （3）因为，所以平面，又因为平面平面，所以平面；所以；19. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且构成等比数列；（1） 证明：；（2） 求数列的通项公式；（3） 证明：对一切正整数，有.（1）证明：因为，令，则，即，所以；（2）当时，所以
8、，因为各项均为正数，所以；因为构成等比数列，所以，即，解得，因为，所以， ，符合，所以对也符合，所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，；（3）因为，所以；所以对一切正整数，有.20. （本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为. 设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点.（1） 求抛物线的方程；（2） 当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3） 当点在直线上移动时，求的最小值.【答案与解析】（1）因为抛物线焦点到直线的距离为所以，又因为，所以解得，抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的方程为；（2）因为抛物线的方程为，即，所以，设过点的切线与抛物线的切点坐标为，所以直线的斜率，解得或；不妨设点坐标为，点坐标为，因为，所以；所以直线的方程为，代入整理得：；（3）点坐标为，点坐标为，点坐标为，因为；所以，；因此=，所以当时，取最小值；21. 设函数.（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 当时，求函数在上的最小值和最大值.【答案与解析】（1） 因为，所以；当时，所以在上单调递增；（2） 因为，； 当时，即时，在上单调递增，此时无最小值和最大值； 当时，即时，令，解得或；令，解得或；令，解得；因为，作的最值表如下：极大值极小值
