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1、1,2,一般地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以称为振动。,振动有： 机械振动、电磁振动、光振动.。 力学中主要研究机械振动。 最简单最基本最有代表性的是简谐振动。,学习中的重点和难点是：,相(phase),3,4.1 简谐振动的一般概念,4.1.1 简谐振动的运动学方程,一质点沿x轴作直线运动，取平衡位置为坐标原点，若质点对平衡位置的位移(坐标)x随时间t按余弦变化，即,则称质点作简谐振动(谐振)。 注意：研究简谐振动时，坐标原点一定要取在平衡位置。,x =Acos( t+ ),运动学方程,4,x =Acos( t+ ),A 振幅 (对平衡位置最大位移的绝对值)。, 初
2、相(t=0时的相)。,( t+ ) 相(位相，相位，周相 )。,三个特征量, 角频率,5,a = d2x/dt2= -2x,显然，它们都是简谐振动。, 动力学特性,k=m2,x =Acos( t+ ),加速度：,速度：, m= A, am= 2A,4.1.2 简谐振动的特征,等幅振动，A不变；,周期振动，x(t)=x(t+T)。,6,( t+ )=0, x=A,=0 正最大 ( t+ )在第1象限, x0, 0 ( t+ )= 3/2, x=0, 0 平衡位置 ( t+ )在第4象限, x0, 0 ( t+ )=2 , x=A, =0 正最大,x =Acos( t+ ),可见它们由相位唯一确定
3、。,4.1.3 质点的振动状态完全由相位确定,7,4.1.4 振动的超前与落后,设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+1) x2=A2cos( t+2),0, 振动x2比x1超前(2 -1),0, 振动x2比x1落后(1 -2),=0, 振动x2和x1同相,=, 振动x2和x1反相,例1 x =Acos( t+ ), = - Asin( t+ )= Acos( t+/2 ),a = - 2Acos( t+ )= 2Acos( t+ + )= - 2x, 比 x 超前/2； a比 超前/2； a与 x反相。,8,x、a 的位相关系：,9,例2 x1 =0.3cos( t ) x2 =
4、0.4cos( t ),x2 超前 x1,=0.4cos( t ),x1 超前 x2,10,一.解析法： x =Acos( t+ ),角频率 由谐振系统确定。,对弹簧振子：,顺便指出，弹簧的串联和并联公式与电阻的串联和并联公式是相反。 例如：一根弹性系数为k的轻弹簧，均匀分成两段后，每段的弹性系数是多少？,4.2 简谐振动的描述 !,11,x =Acos( t+ ), = - Asin( t+ ),o = - Asin,振幅A和初相由初始条件(即t=0时刻物体的运动状态)来确定：,12,解：,x =Acos( t+ ),13,解：由 m1g=k x , 得,t=0时, xo= -2 cm, o
5、=10 cm/s,=2.06 cm,例题2.2 弹簧挂m1=80g时伸长4.9cm。用此弹簧与m2=40g组成一弹簧振子。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上初速o=10cm/s并开始计时，试求振动方程。,14,= 0.25, =14.04=0.24 rad,t=0时, xo= -2cm, o=10cm/s,应取： =0.24 + =3.38 (rad),所求振动方程为 x =Acos( t+ ) =2.06cos(20t+3.38)cm,A=2.06cm, =20,15,二.旋转矢量法,负最大 (),端点M在x轴上的投影点(p点)的位移：,x =Acos( t+ ),显然，p点作简谐振动
6、。,( t+ ) 相位,正最大 (0),动画演示,16,例题2.3 求简谐振动质点的初相 。,(1)t=0时，xo= -A, =,。,(2)t=0时，质点经过平衡位置正向x轴正方向运动, 则 =,3/2(或 - /2)。,(3)t=0时， xo=A/2，质点正向x轴负方向运动, 则 =,xo =Acos,(4)t=0时， 质 点正向x轴正方向运动, 则 =,/3。,5/4。,17,解 质点受弹性恢复力的作用，故作简谐振动。,由,知,直接用下述公式求A、是困难的：,T=12s。,18,于是：,t=1,最后得：,由t=0，xo=0， 知 = /2。,又因T=12s, t=1s, = -20, 所以
7、 = + /2。,已知: t=0，xo=0; t=1s, = -2m/s,19,解：由 F=k x , 得:,(1)t=0时, xo= -0.1m, o=0,=0.1m, = ,=200,例题2.5 弹簧在60N的拉力下伸长30cm。 将m(=4kg)从平衡位置下拉10cm后静止释放 (t=0)，求：(1)振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。,20,，lo=0.196m,弹簧对物体的拉力: F=k(lo- 0.05),=29.2N,(3)物体从第一次越过平衡位置到运动到上方5cm处所需的最短时间。,A= 1
8、0cm,平衡条件:,(2)物体在平衡位置上方5cm时所受弹簧的拉力;, = ,21,解 (1) x=0.12cos(,t )m,(2),-0.19 (m/s),-1.03(m/s2),例题2.6 质点作简谐振动, T=2s, A=0.12m, t=0时，xo=0.06m, 向x轴正方向运动，求： (1)振动方程； (2)t=0.5s时的速度和加速度； (3)x= -0.06m,且向x轴负向运动时的速度和加速度; (4)从x= -0.06m,且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间。,22,= -0.33(m/s),= 0.59(m/s2)。,相位：,(3)x= -0.06m,且向x轴负向
9、运动时刻的速度和加速度;,(A=0.12m),23,旋转矢量转动的角速度： = ,旋转矢量转动过程所用的时间：,即质点从x = -0.06m,且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间为5/6 s。,(4)从x = -0.06m,且向x轴负向运动时刻回到平衡位置所需的最短时间：,旋转矢量转过的角度：,24,解,周期T=8s，,例题2.7 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动方程。,由于 A=B，所以坐标原点应在AB的中点。,初相 =5/4。,振幅：,25,三.曲线法,(t )m,t=0,26,( )cm, t
10、=2,t=0,27,t=0,x=8cos( )cm, t=1,t=0,28,m = A= , A=2.4,x = cos( )m,2.4,t=0,t=0,29,一.同频率平行简谐振动的合成,分振动：x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 ),合振动： x= x1+x2,= Acos( t+ ),(1)合振动仍是同频率的谐振动。 (2)合振动的振幅和初相:,4.3 简谐振动的合成,30,由余弦定理，合振动的振幅为,合振动的初相：,31,(3)合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：, =2 -1,=2k , k=0, 1, 2, , A=A1+A2 , 加强,=(2k+1)
11、 , k=0, 1, 2, , A=|A1-A2 |, 减弱,. . . . . .,x1 =A1cos( t+1 ) x2 =A2cos( t+2 ) x= x1+x2= Acos( t+ ),32,1.公式法,=0.5, =-36.86= -0.64rad,= -0.64+ =2.5rad, 合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm,已知：A1=0.3, A2=0.4, 1= /2, 2= ,解 x =Acos( t+ ),例题3.1 x1 =0.3cos( t+ )cm x2 =0.4cos( t+ )cm 求合振动方程。,33,2.旋转矢量, =36.86=0.64rad
12、 = - =2.5, 合振动方程：x =0.5cos( t+2.5 ) cm,34, 合振动方程： x =0.04cos( t-/2 ) m,例题3.2 t=0时， x1 和 x2的振动曲线如图所示，求合振动方程。,解 由图可知，x1与x2是反相的。因而 合振幅: A= 0.12- 0.08=0.04; 合振动的初相: =-/2 (振幅大的分振动的初相) 合振动的角频率：=2/T=,35,例题3.3 两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20cm, 合振动与第一个振动的相差为 /6, A1=17.3cm, 求：(1)A2=? (2)两振动的相差(2 -1)=?,=10cm,由余弦定理：,
13、解 直接用公式？,36,因A=20, A2=10, 由上式可求出：,(2)两振动的相差(2-1)=?,用正弦定理有：,37,例题3.4 求同方向、同频率、同振幅、相差均为的N个谐振动的合振动方程。,解 设：x1 =Aocos t x2 =Aocos( t+ ) xn =Aocos t+(N- 1) ,OBD:,OBC:,38,x =Acos( t +),39,二.不同频率、平行简谐振动的合成,分振动：x1 =Acos(1 t+ ) x2 =Acos( 2t+ ), 且1 与2相差很小。,合振动： x= x1+x2=,由于1 与2相差很小,故1-2比1 +2小得多; 即,比 的周期长得多！,所以
14、，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动拍:,40,显然，拍频 (振幅Ao的变化频率)为 拍=2-1 , 拍 =2 - 1,41,x =A1cos( t+1 ) y =A2cos( t+2 ),在一般情况下,这是一个椭圆方程。,三.同频率、相互垂直谐振动的合成,消去时间t，可得轨道方程：,42,(1)当2 -1=0时，上式退化为一直线：,合振动仍为谐振动:,合振动仍为谐振动:,(2)当2 -1=时，上式也退化为一直线：,43,(3)当2 -1=/2时，上式为一椭圆：,合振动不再是谐振动。,左旋,右旋,44,(4) 其他相位差的振动合成,合振动的轨迹一般是长短轴有一定倾角的椭圆,演示,45,
15、四.不同频率垂直谐振动的合成,电学测量中的应用：利用李萨如图形由已知频率测量未知频率。,通常不同频率的垂直振动合成，其轨迹不能形成稳定图案。 而当两个分振动的频率具有简单倍数关系时，曲线形成稳定的封闭曲线李萨如图形。,示波器演示李萨如图形,46,47,振动合成的反向操作：振动的分解。,对于周期函数x=f(t)，周期为T=2/，可表示为,称为傅里叶级数，其中各参数称为傅里叶系数，各频率称为基频及谐频。,对于非周期函数，可用频率连续分布的积分来展开：,称为傅里叶积分。这两种分解展开统称傅里叶分析方法。在光学和电子信息学中常用这种分析方法。,五.振动的频谱分析,48,49,方法：,4.4 简谐振动的
16、动力学,简谐振动的周期(频率)由振动系统确定。,注意:分析物体的受力、力矩或其它物理规律，建立动力学方程,50,解 设木块质量为m、边长为b, 则平衡条件为 mg=gb2h,牛二: gb2(h- x)-mg=ma -gb2x =ma,比较： a=-2x,例题4.1 正方体形木块在水面上作谐振动，假设木块静止时吃水深度为h(水面下的木块高度)，求振动周期T=？,51,解 平衡条件: kxo=mg，,令m位移x, 则,mg-T1= ma,T1 R-T2R =I,T2 =k(xo+x),a=R,比较： a=-2x,例题4.2 求图示圆盘、弹簧系统的振动周期 , 图中k、I、R、m为已知。,52,例题4.3 角谐振动 刚体(m、I)在竖直面内作微小振动 , 质心到转轴的距离为hc，求振动周期。,解 由M=I , 有,-mgh
