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1、机械能守恒定律的理解及应用一、机械能守恒定律：1.机械能守恒定律内容表述:表述一: 在只有重力做功的情形下,物体的动能和重力势能发生相互转化,但总的机械能保持不变.这个结论叫做机械能守恒定律.不但动能和重力势能的相互转化中机械能保持不变,在弹性势能和动能的转化过程中,如果只有弹簧的弹力做功,机械能也是保持不变的. 表述二: 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化,但总的机械能不变.这个结论叫做机械能守恒定律.机械能守恒定律是力学中的一条重要定律,又是更普遍的能的转化和守恒定律的一种特殊情况.2.怎样理解机械能守恒定律:只有重力做功的情形：重力势能是相对的，表达式为Ep = m
2、gh，式中的h是物体的重心到参考平面(零重力势能面)的高度若物体在参考平面以上，则重力势能为正；若物体在参考平面以下，则重力势能为负通常，选择地面作为零重力势能参考平面重力势能的变化量与零重力势能的选取无关重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少；重力对物体做多少负功，物体的重力势能就增加多少即W重= -E重只有弹力做功的情形：一个物体由于外力的作用发生形变,如果撤去外力后形变会消失,这种形变就叫做弹性形变.物体因发生弹性形变而具有的势能叫做弹性势能. 和重力势能一样，弹性势能也是相对的.对于弹簧的弹性势能一般取其为原长时弹性势能为零. 弹力对物体做了多少负功，物体的弹性势能就增加多少即
3、W弹= -E弹重力做功和弹力做功均和途径无关.重力势能的大小与哪些因素有关,学生容易理解.以下就弹性势能的大小与哪些因素有关做出说明:一个物体在A位置时,弹簧处于原长,如图所示我们对物体从ABCBA的过程进行分析当物体到B位置时,弹簧的弹力做了负功,弹簧具有了弹性势能.再将物体推到C处,弹力又做了负功,弹簧的弹性势能进一步增加.当物体从C回到B,弹力做正功,弹簧的弹性势能减少.再将物体从B回到A，弹力继续做正功，弹簧的弹性势能继续减少从这个例子,我们注意到：()和重力势能一样,物体的弹性势能和弹力做功密切相关.弹力做多少负功(外力克服弹力做功),物体的弹性势能就增加多少；弹力做多少正功(弹力克
4、服外力做功),物体的弹性势能就减少多少.()和重力一样,弹力做功也和途径无关.物体从B到C弹力做的负功和C到B弹力做的正功相互抵消,因此物体从A直接到B跟物体从A到C再回到B做的功是一样多的.这个问题可以这样理解，由于物体在同一个位置的弹力相同，在B、C间靠着很近的两个点之间，向左移动和向右移动经过这两个点做的功，大小相同，符号相反如图所示而力在一段位移对物体做功的总量是力对每一小段位移做功的累加所以，物体从B到C弹力做的负功和C到B弹力做的正功相互抵消（图中，为了清楚的表示物理量的关系，把B、C间靠着很近的两个点的间距放大了）不难想象,在压缩弹簧中的过程,弹力做的功和两个因素有关：一个是弹簧
5、的劲度系数；另一个是压缩的距离.因此对同一根弹簧,形变越大弹性势能越大,两根弹簧发生同样的形变,劲度系数大的弹簧弹性势能大.由于弹簧从平衡位置拉伸和压缩相同的长度时的力相同，所以同一根弹簧，从平衡位置拉伸和压缩相同的长度时，弹簧的弹性势能相同所以，弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和形变量两个因素有关机械能守恒定律动能和势能之和称为机械能.一种形式的机械能可以和另一种形式的机械能相互转化.下面我们看一些例子.物体自由下落或沿光滑斜面滑下的时候,重力对物体做功,物体的重力势能减少；而物体速度越来越大,表示物体的动能增加了.这时重力势能转变为动能.原来具有一定速度的物体,在竖直上升或沿光滑斜面上升的过
6、程中,物体克服重力做功,速度越来越小,物体动能减少了；而随着高度增加,重力势能却增加了.这时动能转化成重力势能.弹性势能也可以和动能相互转化.放开一个被压缩的弹簧,它可以把一个与它接触的小球弹出去.这时弹力做功,弹簧的弹性势能就减少；同时小球得到一定的速度,动能增加.放开被拉开的弓把箭射出去,这时弓的弹性势能减少,箭的动能增加.从这些例子我们可以看出,机械能的相互转化是通过重力或弹力做功来实现的.重力或弹力做功的过程,也就是机械能从一种形式转化为另一种形式的过程.那么在各种机械能相互转化的过程中有什么规律呢?我们用一个最简单的例子来看一下.一个做自由落体运动的小球从1位置下落到2位置,设小球在
7、位置1和2的速度分别为v1和v2,1位置和2位置离地的高度分别为h1和h2(如图).根据落体运动的规律可知： 等式两边都乘以0.5m,得由此可知,在小球从1位置落到2位置的过程中,它重力势能的减少量等于它动能的增加量,也就是说它在下落过程中机械能总量保持不变.机械能守恒定律关系式的推导，我们还可以通过下列方法来建立：我们还是用图3给出的情形研究小球从1位置下落到2位置的过程中，重力做功WG=mg(h1-h2)；运用动能定理，,得: ,即：3机械能守恒定律的应用范例：【例1】 以10m/s的速度将质量m的物体从地面竖直向上抛出，忽略空气阻力，求(1)物体上升的最大高度(2)上升过程中何处重力势能
8、和动能相等解：(1)以地面为参考面，设物体上升的最大高度为h,由机械能守恒得E1E2，即，所以（2）在地面有E1在高h1处有Ek=Ep,即由机械能守恒定律得，即解得【例2】把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（见图4），摆长为L，最大偏角为小球从A处释放运动到最低位置O时的速度是多大？解：在小球运动的过程中，小球共受到重力和绳对小球的拉力共2个力的作用由于绳子对小球的拉力方向始终与速度方向垂直，绳子对小球的拉力不做功，只有重力对小球做功，小球的机械能守恒小球重力势能的减小量为），动能的增加量为，根据机械能守恒得：，即【例】如图5所示，质量均为m的A、B两个小球， 用长为2L的轻杆相连接，在竖
9、直平面内，绕固定轴O沿顺时针方向自由转动（转轴在杆的中点），不计一切摩擦（1）某时刻A、B球恰好在如图所示的位置，A、B球的 线速度大小均为v试判断A、B球以后的运动是否为匀速圆周运动，请说明理由！（2）若，在如图所示的位置时， B球从杆上脱落，求B球落地时的速度大小解：（1）在图示位置转动一个较小的角度，由几何关系可得，A球下降的高度和B球上升的高度相同，A、B球系统的重力势能不变，由于系统的机械能守恒，所以A、B球的动能不变，所以A、B球以后的运动是为匀速圆周运动 （2） B球速度大小与A球相同，做平抛运动，满足机械能守恒条件设球落地时速度大小是，取地面为重力势能零点，运用机械能守恒定律： 得：小球落地的速度大小为对于一个物体系来说，如果没有外力做功，又没有耗散力做功，而只有保守力做功，那么系内物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变【例2】给出的情景就是系统机械能守恒的实例这里要指出的是，由于杆对A球和B球都做功，A球和B球的机械能均不守恒，但在A球向下转动的过程中，杆对A球做正功，杆对B球做负功，杆对A、B球做功的总量为零，所以系统的机械能守恒
