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1、 随机事件及其概率随机事件及其概率 1.1 随机事件随机事件 习题习题 1 试说明随机试验应具有的三个特点 习题习题 2 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A，B，C 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同 一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件 A，B，C 中的样本点. 1.2 随机事件的概率随机事件的概率 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1.4 条件概率条件概率 1.5 事件的独事件的独立性立性 复习总结与总习题解答复习总结与总习题解答 习题 3. 证明下列等式： 习题 5. 习题 6. 习题 7 习题 8 习题 9 习题 10 习题 11 习题 12 习题 13
2、 习题 14 习题 15 习题 16 习题 17 习题 18 习题 19 习题 20 习题 21 习题 22 习题 23 习题 24 习题 25 习题 26 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 2.1 2.1 随机变量随机变量 习题习题 1 1 随机变量的特征是什么？ 解答解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数. 随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值. 随机变量取特定值的概率大小是确定的. 习题习题 2 2 试述随机变量的分类. 解答解答：若随机变量 X 的所有可能取值能够一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量；否则称为非离散型 随机变量.若 X 的可能值不
3、能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称 X 为连续型随机变量. 习题习题 3 3 盒中装有大小相同的球 10 个，编号为 0,1,2,9, 从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定 值的概率. 解答解答：分别用 1,2,3 表示试验的三个结果“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，则样本空间 S=1,2,3, 定义随机变量 X 如下： X=X()=0,=11,=2,2,=3 则 X 取每个值的概率为 PX=0=P取出球的号码小于 5=5/10, PX=1=P取出球的号码等于 5=1/
4、10, PX=2=P取出球的号码大于 5=4/10. 2.2 2.2 离散型离散型随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 习题习题 1 1 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 PX=1=PX=2, 求 . 解答解答：由 PX=1=PX=2, 得 e-=2/2e-,解得 =2. 习题习题 2 2 设随机变量 X 的分布律为 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5, 试求(1)P12X3. 解答解答：(1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35. 习题习题 3 3 已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为 12c,34c,58c,716c, 试确定
5、常数 c, 并计算 PX1X0. 解答解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即 3716c=1,解得 c=3716=2.3125. 由条件概率知 PX1X0=PX60, 即 PX20, PX20=PX=30+PX=40=0.6. 就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 0.6. 习题习题 6 6 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代 表在两次调整之间生产的合格品数，试求： (1)X 的概率分布； (2)PX5; (3)在两次调整之间能以 0.6 的概率保证生产的合格品数不少于多少? 解答解答
6、：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,; (2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5; (3)设以 0.6 的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于 m 件，则 m 应满足 PXm=0.6,即 PXm-1=0.4. 由于 PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m, 故上式化为 1-0.9m=0.4, 解上式得 m4.855, 因此，以 0.6 的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于 5. 习题习题 7 7 设某运动员投篮命中的概率为 0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布. 解答解答：此运动员一次投篮的
7、投中次数是一个随机变量，设为 X, 它可能的值只有两个，即 0 和 1. X=0 表示未投中，其概率为 p1=PX=0=1-0.6=0.4, X=1 表示投中一次，其概率为 p2=PX=1=0.6. 则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题习题 8 8 某种产品共 10 件，其中有 3 件次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品中次品的概率分布. 解答解答： 设 X 表示取出 3 件产品的次品数，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 对应概率分布为 PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120, PX=2=C71C32C103
8、=21120, PX=3=C33C103=1120. X 的分布律为 X 0123 P 3512036120211201120 习题习题 9 9 一批产品共 10 件，其中有 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去， 求直至取到正品为止所需次数 X 的概率分布. 解答解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所 以 X 的可能取值是所有正整数 1,2,k,. 设第 k 次才取到正品(前 k-1 次都取到次品), 则随机变量 X 的分布律为 PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,. 习
9、题习题 1010 设随机变量 Xb(2,p),Yb(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1. 解答解答：因为 Xb(2,p), PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以 p=1/3. 因为 Yb(3,p), 所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27. 习题习题 1111 纺织厂女工照顾 800 个纺绽，每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0.005, 在 这段时间 内断头次数不大于 2 的概率. 解答解答：以 X 记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为： P0X2=P0 xi2X=xi=k=02b(k;800,
10、0.005) k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381. 习题习题 1212 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布， 经统计发现在某本书上， 有一个印刷错误与有两 个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率. 解答解答：becausePX=1=PX=2, 即 11!e-=22!e-=2, PX=0=e-2, p=(e-2)4=e-8. 2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 习题习题 1 1F(X)=0,x-20.4,-2x01,x0, 是随机变量 X 的分布函数，则 X 是_型的随机变量. 解答解答：离散. 由于 F(
11、x)是一个阶梯函数，故知 X 是一个离散型随机变量. 习题习题 2 2 设 F(x)=0 x0 x201,1x1 问 F(x)是否为某随机变量的分布函数. 解答解答：首先，因为 0F(x)1,x(-,+). 其次，F(x)单调不减且右连续，即 F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1, 且 F(-)=0,F(+)=1, 所以 F(x)是随机变量的分布函数. 习题习题 3 3 已知离散型随机变量 X 的概率分布为 PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2, 试写出 X 的分布函数 F(x)，并画出图形. 解答解答：由题意知 X 的分布律为： X 135 Pk 0.30
12、.50.2 所以其分布函数 F(x)=PXx=0,x10.3,1x30.8,3x51,x5. F(x)的图形见图. 习题习题 4 4 设离散型随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0,x-10.4,-1x10.8,1x31,x3, 试求：(1)X 的概率分布； (2)PX2X1. 解答解答：(1) X -113 pk 0.40.40.2 (2)PX2X1=PX=-1PX1=23. 习题习题 5 5 设 X 的分布函数为 F(x)=0,x0 x2,0 x1x-12,1x1.51,x1.5, 求 P0.40.5,P1.7X2. 解答解答：P0.40.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5
13、/2=0.75, P1.7X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0. 习题习题 6 6 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-x+), 试求：(1)系数 A 与 B; (2)X 落在(-1,1内的概率. 解答解答：(1)由于 F(-)=0,F(+)=1, 可知 A+B(-2)A+B(2)=1=0A=12,B=1, 于是 F(x)=12+1arctanx, -x+; (2)P-1X1=F(1)-F(-1) =(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1) =12+14-12-1(-4)=12. 习题习题 7 7 在区间0,a上任意投掷一个质点， 以 X 表示
14、这个质点的坐标.设这个质点落在0,a中任意小区间内 的概率与这个小区间的长度成正比例，试求 X 的分布函数. 解答解答： F(x)=PXx=0,x0 xa,0 xa.1,xa 2.4 2.4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 习题习题 1 1 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=12e-(x+3)24(-x+),则 Y=N(0,1). 解答解答：应填 3+X2. 由正态分布的概率密度知 =-3,=2 由 Y=X-N(0,1), 所以 Y=3+X2N(0,1). 习题习题 2 2 已知 Xf(x)=2x,0x10,其它, 求 PX0.5;PX=0.5;F(x). 解答解答：PX0.5=-0.5f(x)dx=-00dx+00.52xdx=x200.5=0.25, PX=0.5=PX0.5-PX0.5=-0.5f(x)dx-0.5f(x)dx=0. 当 X0 时，F(x)=0; 当 0x1 时，F(x)=-xf(t)dt=-00dt+0 x2tdt=t20 x=x2; 当 X1 时，F(x)=-xf(t)dt=-00dt+0 x2tdt+1x0dt=t201=1,故
