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1、,第六章 弯曲变形,材料力学,61 概述 62 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 63 用积分法求梁的挠度与转角,64 按叠加原理求梁的挠度与转角,65 梁的刚度校核,第六章 弯曲变形,66 简单超静定梁的求解方法,6 概 述,弯曲变形,齿轮传动轴的弯曲变形,弯曲变形,轧钢机（或压延机）的弯曲变形,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线 方向的线位移，用w表示。规定： w （）， w (）。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度，用 表示。规定： （）， (）。,一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xy平面内的光滑曲线，该,三、转角与挠度的关系：,弯曲变形,二、梁变形的两个基本位移量,小变形,P,x,w
2、,q,曲线称为挠曲线， w =f (x) 挠曲线方程。,q,6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程,式（2）就是挠曲线近似微分方程。,弯曲变形,小变形,x,M0,x,M0,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,二、求转角方程、挠曲线方程,1.微分方程的积分,弯曲变形,式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。,2.边界条件和连续性条件,弯曲变形,边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。,例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；,悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。,讨论题：指出下列梁的边界条件。,q,q,L,连续性条件:,挠曲线上
3、任意点有唯一确定的挠度和转角。,若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。,A,B,A,B,边界条件：,连续性条件：,（图a）,（图b）,弯曲变形,对上述梁：,适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。,弯曲变形,挠曲线近似微分方程,优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程；,缺点：计算较繁。,例1 求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出挠曲线微分方程并积分,确定积分常数,弯曲变形,题一、解：,P,L,x,当,时，
4、,，,求得：,63 用积分法求梁的挠度与转角,写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状,最大转角及最大挠度（绝对值最大）,弯曲变形,x,（ ）,（ ）,题二、解： 建立坐标系并写出弯矩方程,写出挠曲线微分方程并积分,弯曲变形,P,a,确定积分常数,弯曲变形,P,a,边界条件,连续性条件,当,时，,写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状,最大挠度及最大转角,弯曲变形,P,L,a,x,y,弯曲变形,例2 求图示梁自由端的转角和挠度。,解：,建立坐标系并写出弯矩方程,AB段,AB段,写出挠曲线微分方程并积分,BC段,弯曲变形,BC段,确定积分常数,边界条件：,连续性条件：,当,时，,求得,求得,在,处，,
5、弯曲变形,写出AB段的转角方程和挠曲线方程,自由端的转角、挠度为,（ ）,（ ）,6-4 按叠加原理求梁的挠度与转角,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,弯曲变形,例3 按叠加原理求A点转角和C点 挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表(表6.1)查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例4 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。,=,+,弯曲变形,6-5 梁的刚度校核
6、,一、梁的刚度条件,三类刚度计算问题：,、校核刚度：,、设计截面尺寸； 、确定许可载荷。,弯曲变形,或指定截面的挠度、转角不超过某一规定数值。,例5一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆材料的E=210GPa，工程规定C点的w=0.0001L,B点的=0.001弧度,试对C截面的转角和挠度进行刚度校核。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解：查表求简单载荷变形。,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,叠加求C截面的转角和挠度,校核刚度,弯曲变形,该杆满足刚度要求。,6-6 简单超静定梁的求解方法,处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结
7、合，求出全部未知力。,解：建立静定基和相当系统,判断超静定次数，解除多余约束并在该处加上相应的多余约束力，得到原超静定结构的相当系统。,弯曲变形,A,B,x,A,B,静定基,相当系统,几何方程变形协调方程,+,弯曲变形,A,B,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,对上述超静定梁选择其它形式的静定基,几何方程变形协调方程：,B,A,物理方程：,补充方程,求得,（ ）,弯曲变形,+,=,几何方程 变形协调方程：,解：建立静定基,例6 结构如图，求拉杆的内力。,L1,弯曲变形,C,=,LBC,弯曲变形,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,例7 悬臂梁AB用与其同材料、同截面的一根短梁AC加固，试求C处的约束反力。,解：属一次超静定问题,建立静定基和相当系统,几何方程：,物理方程：,补充方程,本章结束,
