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1、1,概率论与数理统计第18讲,本文件可从网址 上下载,2,正态分布与G-分布的关系定理 如XN(0,1), 则X22(1),3,4,二元正态分布定义 若二元连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为,6,7,8,定理 二元正态分布的边缘分布为一元正态分布,9,10,同样可证,因此, 联合概率密度中的参数m1,m2,s1,s2分别是X和Y的期望值和标准差. 还可证明参数r就是X与Y的相关系数.,11,12,定理 服从二元正态分布的随机变量(X,Y), 它们独立的充分必要条件是X与Y的相关系数r=0.,13,证 因为独立必不相关, 因此我们证当X与Y不相关即r=0时必相互独立. 这时,14,定义 若
2、连续型随机变量X的概率密度f(x)为,15,定义 若连续型随机变量X的概率密度f(x)为,16,矩的概念定义 设X和Y为随机变量, k,l为正整数, 称E(Xk)为k阶原点矩(简称原点矩)EX-E(X)k为k阶中心矩E(|X|k)为k阶绝对原点矩E(|X-E(X)|k)为k阶绝对中心矩E(XkYl)为X和Y的k+l混合矩EX-E(X)kY-E(Y)l 为X和Y的k+l阶混合中心矩,17,由定义可见X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩X的方差D(X)是X的二阶中心矩协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩,18,将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩c11=EX1-E(X1)2, c
3、22=EX2-E(X2)2,c12=EX1-E(X1)X2-E(X2),c21=EX2-E(X2)X1-E(X1),排成矩阵的形式:,称此对称矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.,19,类似定义n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.若 cij=cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj) i,j=1,2,n都存在, 则称,为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵,20,21,22,故二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度可用矩阵表示为,其中(X-m)T是(X-m)的转置.,23,设XT=(X1,X2,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为,则称X服从n维正态分布. 其中,
4、C是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵, |C|是它的行列式, C-1表示C的逆矩阵, X和m是n维列向量, (X-m)T是(X-m)的转置.,24,n维正态分布的几个重要性质1. n维正态变量(X1,X2,Xn)的每一个分量Xi(i=1,2,n)都是正态变量; 反之, 若X1,X2,Xn都是正态变量, 且相互独立, 则(X1,X2,Xn)是n维正态变量.注:性质中若不具有相互独立性, 则反之不一定成立.,25,2. n维正态变量(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,Xn的任意线性组合l1X1+l2X2+lnXn均服从一维正态分布(其中l1,l2,ln不全为零).,26,3
5、. 若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布, 设Y1,Y2,Yk是Xj(j=1,2,n)的线性函数, 则(Y1,Y2,Yk)也服从k维正态分布.注: 这一性质称为正态变量的线性变换不变性.,27,4. 设(X1,X2,Xn)服从n维正态分布, 则 X1,X2,Xn 相互独立等价于 X1,X2,Xn两两不相关.,28,例7 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1),试求Z=2X-Y+3的概率密度,29,解 由题意X和Y的联合分布为正态分布, X和Y的任意线性组合是正态分布, 即Z服从正态分布,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=
6、9ZN(5,32),30,ZN(5,32)即Z的概率密度是,31,1994年经济类研究生试题,32,解,33,34,1995年经济类研究生试题,35,解,36,1999年经济类研究生试题,设随机变量X服从参数为l的泊松分布, 且已知E(X-1)(X-2)=1, 则l=_,37,解 已知E(X)=D(X)=l, 且E(X2)=E(X)2+D(X)=l2+l, 而E(X-1)(X-2)=E(X2-3X+2) =E(X2)-3E(X)+2=1 得l2+l-3l+2=1, 即l2-2l+1=0 有l=1,38,1999年经济类研究生试题设随机变量Xij(i,j=1,2,.,n;n2)独立同分布, E(
7、Xij)=2, 则行列式,39,解 因多个随机变量之和的数学期望是各个数学期望之和, 而多个相互独立的随机变量之积的数学期望也是各个随机变量的数学期望之积, 而行列式无非是各个随机变量相互乘积再相加得到的随机变量.因此有,40,41,2000年经济类研究生考研题设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布; 随机变量,42,解,43,1998年经济类研究生试题,设一次试验成功的概率为p, 进行100次独立重复试验, 当p=_时, 成功次数的标准差的值最大, 其最大值为_,44,解 设成功次数为X, 则XB(100,p), D(X)=100p(1-p)=100p-100p2, 对p求导并令其为0, 得 100-200p=0, 得p=0.5时成功的标准差的值最大, 其最大值为,45,作业 第70页开始 习题4-3第2,9,14题学号小于2003021561的学生交作业,
