《【测绘课件】第二章 平差数学模型与最小二乘原理说课讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【测绘课件】第二章 平差数学模型与最小二乘原理说课讲解（94页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第二章 平差数学模型与最小二乘原理 本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的准则。 第一节 测量平差概述 第二节 测量平差的数学模型 第三节 函数模型的线性化 第四节 参数估计与最小二乘原理,2-1 测量平差概述,在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素都是几何量，以下统称这些网为几
2、何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。例如： （1）在图2-1的ABC中，为了确定它的形状（相似形），只要知道其中任意2个内角的大小就行了，如 等。它们都是同一类型的元素（角度）。 （2）为了确定ABC的形状和大小（全等形），只要知道其中任意的2角1边、2边1角或3边的大小就行了，如 、 、 , 、 、 , 、 、 ， ，等等。 返回目录,（3）在图2-2的水准网中，为了确定A、B、C、D4点之间高度的相对关系，只要知道其中3个高差就行了，如 、 、 或 、 、 或 、 、 等等。它们是同一类型的元
3、素（高差）。 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，简称必要元素；必要元素的个数用t来表示。对于上述三种情况，分别是t=2,t=3和t=3。对于第二种情况，3个元素中除了角度还至少要包含一个边长，没有边长仍然只能确定其形状； 返回目录,而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数，而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型，t只与几何模型有关，与实际观测量无关。 对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素的函数。例如，对于（1）中的情况，若以 和 作为必要元素，则 与
4、间无函数关系；又如在（2）情况中，选 、 、 ，则 + + =180 ，三者之间存在函数关系，就不能说t=3，实际必要元素只选了两个，而漏选了一个。因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。 在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个量，则必然产生一个相应的函数关系式。仍以（2）情况中，必要量选为 、 、 ，若增加一个量 ，则存在 + + =180 ，若再增加一个量 ，则有 返回目录,一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差
5、，有 因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为 （2-1-2） （2-1-3） 若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即 （2-1-4） 返回目录,造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。 由于观测不可避免地存在偶然误差，当nt时，几何模型中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这种估计要求是最优的，最后计算和分析成
6、果的精度。 返回目录,2-2 测量平差的数学模型,一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型 返回目录,在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同，它还要
7、考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研究任何平差方法时必须同时予以考虑。 函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种 返回目录 返回本节,模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题。 对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型，与此相应，就产生了不同的平差方法。函数模型分为线性函数模型和非线性函数模型两类。测量平差通常是基于线性函数模型的，当函数模型为非线性形式时（例如2-1-3式），总是将其用台劳公式展开，并取其一次项化为线性形式。下
8、面简述各类基本平差方法的线性函数模型和随机模型，总称为数学模型。 一、条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 现以图2-2所示水准网为例，说明条件平差的函数模型。图中A为已知其高程的水准点，B、C、D均为未知点。网中观测向量的真值为 ， 为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数（即必要元素）t=3，故多余观测数r=n-t=3。应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是 返回目录 返回本节,则上式为 （2-2-1） 又如在图2-1ABC中，观测了三个内角，多余观测r=n-t =2-2=1，存在条件方程为 令 返回目录 返回本节,则上式为 （2-2-2） 一般而言，如果有n个
9、观测值，l个必要观测，则应列出r=n-t个条件方程，即 （2-2-3） 如果条件方程为线性形式，可直接写为 （2-2-4） A0为常数向量，如在（2-2-1）式中 ，在（2-2-2）式中为-180。 将 代入（2-2-4）式，并令 （2-2-5） 则（2-2-4）式为 （2-2-6） （2-2-4）或（2-2-6）式为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程的个数。 返回目录 返回本节,二、间接平差法 由 2-1知，在一个几何模型中，最多只能选出t个独立量，如果在进行平差时，就选定t个独立量作为参数，那末通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型了。换言之，模型中的所
10、有量都一定是这t个独立参数的函数，亦即每个观测量都可表达成所选t个独立参数的函数。 选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平差法。 在图2-3的ABC中，观测量为其中三个内角 选定A和B为平差参数，设为 ，即 因为通过这t=2个参数可以唯一地确定该三角形的形状。将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数， 返回目录 返回本节,由图知 （2-2-7） 方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有n个观测值，t个必要观测值，选择t个独立量作为平差参数 ，则每个观测量必定可以表达成
11、这个t个参数的函数，即有 （2-2-8） 如果这种表达式是线性的，一般为 例如，在（2-2-7）式中 返回目录 返回本节,将 代入（2-2-9）式，并令 l=L-d (2-2-10) 则有 （2-2-11） 考虑E（ ）=0，上式也可写成 （2-2-12） 以上的（2-2-9）或（2-2-11）式就是间接平差的函数模型。 尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。 返回目录 返回本节,三、附有参数的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为参数，而0ut，每增设一个参数应增加一
12、个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数的条件平差法。 例如，在图2-3的ABC中， 观测量为三个内角， ，选择A为平差参数，此时，r=n-t=2-2=1，有一个条件方程，由于增加了一个参数 ，应再增加一个条件方程。现列出如下 令 返回目录 返回本节,则上式可写成 （2-2-14） 一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，再增选u个独立参数，0ut，则总共应列出c=r+u个条件方程，一般形式为 （2-2-15） 如果条件方程是线性的，其形式为 （2-2-16） 将 代入上式，并令 （2-2-17） 则得 （2-2-18） （2-
13、2-16）或（2-2-18）式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个，故平差的自由度为r=c-u。 返回目录 返回本节,四、附有限制条件的间接平差法 如果进行间接平差，就要选出t个独立量为平差参数，按每一个观测值所选参数间函数关系，组成n个观测方程。如果在平差问题中，不是选t个而是选定ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们是用业约束参数之间应满足的关系。因此，在选定ut个参数进行间接平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s个约束参数的条件方程，故称此平差方法为附有限制条件的间接平差法。 一般而言，附有限制条件的间接平差法可组成下列方程： （2-2-19） （2-2-20） 线性形式的函数模型为 （2-2-21） （2-2-22） 该平差问题的自由度r=n-(u-s)。 返回目录 返回本节,五、平差的随机模型 对于以上四种基本平差方法，最基本的数据都是观测向量 ，进行平有效期时，除了建立其函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵： （2-2-23） 式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，Q与P互为逆阵， 为单位权方差。以上各种平差方法的函数模型连同（2
