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1、,第五节条件概率,一、条件概率与乘法公式,在随机试验中，对于有些事件往往需要在有 某些附加信息(条件)下求其概率例如 一箱产品共50件，其中有4件不合格品，且这 4件不合格品中有2件是次品,另2件是废品，今从 箱中任取一件产品，求 (1) 取得次品的概率是多少？ (2) 已知取得的是不合格品，则它是次品的概率是 多少? 容易得出 (1)的答案是2/50=0.04，(2)的答案是2/4=0.5,从上面的结果看，这两个概率不相等产生 两个概率不相等的原因是这两个问题的提法是有 区别的，第二个问题是一种新的提法：“所取的产 品是不合格品”,本身也是一个随机事件若把此 事件记作A，把“所取的产品是次品
2、”记作B，于是 可以把问题叙述成：在事件发生A（即发现产品 是不合格品）的条件下，事件B（所取的产品是次 品）发生的概率是多少?我们把这种概率叫做在事 件A发生的条件下事件B的条件概率，记作,它既不同于P(B)，也不同于P(AB).,定义1.7 设A , B是两个随机事件，且P(A)0,我们 称,（1.7）,为事件A发生的条件下事件B的条件概率 . 相应地，P(B)称为无条件概率.,同理有：,这个式子的直观含义是明显的，在A发生的条件 下B发生当然是A发生且B发生，即AB发生，但 是现在A发生成了前提条件，因此应该以A作为 整个样本空间，而排除A以外的样本点，因此,是P(AB)与P(A)之比.
3、,例1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概 率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.如果一只动物 现在已经20岁，问它能活到25岁的概率为多少? 解： 设 A= “活到20岁”，B= “活到25岁”，则,因为B A，所以,由公式(1.7) 有:,例2 仓库中存放10箱青霉素,其中甲厂产6箱， 乙厂产3箱，丙厂产1箱现从中任取一箱，发现 不是丙厂生产的，求是甲厂生产的概率 解: 设 A= “取出的青霉素由甲厂生产”， B= “取出的青霉素由乙厂生产”， C= “取出的青霉素由丙厂生产” 则 A , B , C 两两互不相容，所求概率为:,二、 乘法公式 由公式(1.7),我们可得到下述定理
4、 定理1.1（乘法公式）对于任意的事件A，B，若 P(A)0，则,(1.8),乘法公式可以推广到多个事件积的情形,推论 设,是n个事件, n 2 , 且,则,例3 甲、乙两厂共同生产1 000个零件，其中450 件是甲厂生产的而在这450个零件中，有380个 是标准件，现从这1 000个零件中任取一个，问这 个零件是甲厂生产的标准件的概率是多少？ 解 设 A= “零件是甲厂生产的”， B= “零件为标准件”， 由题设,则,例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为 9
5、/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。 解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”，以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,3条件概率,返回主目录,三、全概率公式,定义1.8 设为试验E的样本空间, B1 , B2 , , Bn 为E的一组事件, 若,则称 B1 , B2 , ,Bn为样本空间的一个划分,B1,B2,Bn,.,全概率公式,设试验E的样本空间为S ，A为E的事件，,例5 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，
6、今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率 解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,练习： 某厂使用5个产地的同型号的电子元件.已 知此厂使用这5个产地的电子元件数量各占20%, 30%, 10%, 15%和25%.且它们的合格率分别是 0.87, 0.96, 0.82, 0.88和0.96.现随机地抽取一件,问： 此元件为合格品的概率为多少? 解: 设 A = “元件是合格品”， Ai = “元件来自第i个产地”, i=1 , 2 , 3 , 4 , 5. 显然,由全概率公式,=0.20.87+0
7、.30.96,+0.10.82 +0.150.88+0.250.96=0.916,事件独立性的定义,设 A、B 是两个随机事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,事件独立性的性质：,1）如果事件A 与 B 相互独立，而且,第六节 独立性,4 独立性,返回主目录,4 独立性,2）必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立 证明：由,同理可证第二个结论。,3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,证：为方便起见，只证,相互独立即可,由于,4 独立性,返回主目录,三个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，如果,则称A、B、C是相互独立的随机
8、事件,4 独立性,返回主目录,注：上面四个条件缺一不可,相互独立的概念可以推广到三个以上事件的情况 . 定义 设,是n个事件, 如果对于任意的,有,则称这n个事件两两相互独立或两两独立.,如果对于任意的k (k n)，任意的,都有,则称这n个事件相互独立 .,注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,例1 甲, 乙两战士打靶, 甲的命中率为0.9, 乙的 命中率为0.85. 两人同时射击同一目标 ,各打一枪, 求
9、目标被击中的概率 解 :设 A= “甲击中目标”，B= “乙击中目标” 显然甲是否击中不影响乙的击中, 因而A , B是独 立的于是,例 2 设有电路如图，其中 1, 2, 3, 4 为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为 p。求 L至 R 为通路的概率。,L,R,2,1,3,4,解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：,4 独立性,返回主目录,由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独立性，得到,第一章 概率论的基本概念,4 独立性,返回主目录,练习： 三门高射炮向敌机进行射击, 已知每门炮发 射一发炮弹击中飞机的概率分别为0.6, 0.5, 0.6.现 三门炮同时发射(每门炮射一发) , 求： 敌机被击中的概率； 敌机至少被两门炮击中的概率 解: 设 Ai = “第门炮击中敌机”(i= 1 , 2 , 3) B= “敌机被击中”, C= “敌机至少被两门炮击中” 则A1 , A2 , A3相互独立,作业：,
