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1、1,第五章 连续函数,郇中丹 2006-2007学年第一学期,2,基本内容,1 函数在一点的连续性 2 初等函数的连续性 3 重要函数极限 4 在集合上连续的函数 5 闭区间上连续函数的性质 6一致连续性 7 闭集和开集及紧性的概念,3,1.函数在一点的连续性,函数在一点连续的定义 函数在一点的左连续和右连续 函数在一点连续的性质 连续函数例子,4,函数在一点连续的定义,定义:设IR为区间,: IR.说在x0I处连续, 如果e0,d=d(e)0,xI:|x-x0|d,|(x)-(x0)|e. 在一点连续的等价说法:,6,函数在一点连续的性质,设,g: IR在x0I处连续, c,dR. 则 算术
2、性质: c+dg,g, 和/g (若g(x0)0)在x0处连续; 复合性质: 若函数u在(x0)处连续,则h=u在x0处连续; 保号性: 若(x0)0, 则d0, xI(x0-d,x0+d), (x) (x0)0 有界性: C0, d0,xI(x0-d,x0+d),|(x)|C.,7,连续函数例子,1. 常值函数(x)=c是连续的; 2. 恒等函数(x)=x是连续的; 3. 多项式函数P(x)=Sakxk是连续的; 4. 有理函数(x)=P(x)/Q(x)在Q(x)0处(自然定义域上)是连续的,其中P(x)和Q(x)是多项式; (3和4是连续函数性质的推论) 5. n根函数(x)=x1/n在其
3、定义域上是连续的; 6. 整数部分函数(x)=x在非整数点连续的, 宰整数点右连续但不左连续;,8,书上62页的例子,设在闭区间a,b的每个点连续. 则函数 在闭区间a,b的每个点同样连续. 其中n为整数. 讨论: (1) 通过讨论在整数点的左右极限. (2) 注意 当求和下限大于上限时, 约定和式为零. #,9,习题十一 (I),1. 设: RR, x0R. 证明: (x)l(xx0)当且仅当(x)l(xx0+)和(x)l(xx0-). 2. 设:RR. 讨论函数g(x)=(x)的连续性. 3. 讨论下列函数的连续性:,10,习题十一 (II),4. 计算下列极限： 5. 设和g是定义在(a
4、,+)的函数.假设和g在任何有界区间(a,b)上都有界, xya, g(x)g(y)且 g(x)+ (x+). 证明：,11,2 初等函数的连续性,幂的定义 指数函数的性质 指数函数的连续性 指数函数的极限和值域性质 自然对数函数 对数函数和幂函数 三角函数,12,幂的定义 (I),正整数次幂: 设aR. nN+. a的n次幂定义如下 正整数次幂基本性质: 幂推广到整数并且保留幂的性质: 要把幂推广到有理数, 首先需要保证n次算术根的存在性, 为此要求a0. 定义如下,13,幂的定义 (II),有理指数幂仍然保留了幂的基本性质(验证的关键是用到n次算术根的惟一性). 无理次幂: 先考虑a1,
5、对于rR, 定义a的r次幂为 这里利用了有理次幂的递增性. 由对于有理次幂的性质 , 可以自然定义当0a1时,14,指数函数的性质,设a 0, a 0. 定义以a为底的指数函数为 讨论a 1的情形就够了.此时(x)由如下性质: (1) 正性: xR, (x)0; (2) 严格单调递增性: xy, (x)(y); (3) x, yR, (x+y)=(x) (y). 证明: (1)和(2)直接由定义.(3)由,15,指数函数的连续性,指数函数在R的每一点都连续. 证明: 取定x0R. 则对于xR, 因此只要证明在x0=0点连续就行了. 任取e0, 由 则存在N, 有 因此由指数函数的单调性, 当|
6、x|1/N时,16,指数函数的极限和值域性质,指数函数(x)的极限性质(a1): (1) (x) + (x +); (2) (x)0 (x -) 证明: 由单调性和(-x)=1/(x), 只要证明(n) + (n +)就够了,这是有关an极限的推论. # 指数函数的值域(R)=(0,+). 证明: 由指数函数的正性(R)(0,+).假设r0, r(R),记a=supx | (x)r.必有a=b.因此在a点不连续,矛盾.#,17,自然对数函数,考虑a=e的情形, 此时的指数函数记作exp(x).记其在(0,+)上反函数为ln(x),叫作自然对数函数. 1. ln(x)严格单调,ln(0+)=-,
7、 ln(+)=+ . # 2. ln(x) 在(0,+)的每一点都连续. 证明: 取x0(0,+). 任取e0, 令d=minexp(ln(x0 )+e) -x0, x0-exp(ln(x0 ) -e). 当|x-x0 |d时, exp(ln(x0 ) -e)xexp(ln(x0 )+e) 也就是ln(x0 ) -eln(x)ln(x0 )+e. #,18,对数函数和幂函数,对于a0, a1, 指数函数和相应的对数函数 指数的运算规则: 幂函数: 设aR, 指数为a的幂函数可以写为 更一般地: 利用复合函数可以讨论它们的定义域和连续性.,19,三角函数,三角函数连续性的讨论是基于下面的利用三角
8、函数的单位圆描述得得到的几何事实: xR, |sin x|x|. 以及|sin x|, |cos x|1. 正弦函数: 利用sin x-sin y=2sin(x-y)/2cos(x+y)/2; 余弦函数: 利用cos x-cos y=2sin(y-x)/2sin(x+y)/2; tan x, cot x, sec x和csc x利用其与正弦和余弦的关系及连续函数的算术性质.,20,习题十二,1. 用定义验证下列函数再起定义域上是连续的. 2. 证明：(1) x(0,1), ln x1, ln x0; 3. 讨论幂函数 在区间(0,+)的单调性, 即, 对于那些a, 有xy0, (x)(y);对
9、于那些a, 有xy0, (x)(y).,21,3 重要函数极限,指数对数函数的重要极限 三角函数的重要极限 应用重要极限的例子,22,指数对数函数的重要极限 (I),指数对数重要极限： 证明: 1. 先考虑x+的情形: 由数列情形的结论得到 利用指数函数和幂函数的单调性: 夹逼性质就给出相应的结论.,23,指数对数函数的重要极限 (II),2.考虑x-的情形: 作代换(把问题看成是复合函数)y=-x, 就得到 3. 结合前两部分的结果就得到结论.# 重要极限的推论:,24,三角函数的重要极限,正弦重要极限: 证明: 只要考虑0 x -p/2也是成立的. 利用cos x的连续性和夹逼性质就得到了
10、结论.#,25,应用重要极限的例子(I),1. 2. (1-cos x)/x2 1/2 (x0); 或1-cos x=x2/2+o(x2) (x0); 或(1-cos x)/x2=1/2+o(1) (x0); 或cos x=1-x2/2+o(x2) (x0); 或1-cos xx2/2 (x0).,26,应用重要极限的例子(II),3. (1+x/n)n=exp(nln(1+x/n) =exp(xln(1+x/n)n/x) exp(x) (x 0); 或(1+x/n)n=exp(x)+o(1) (x 0).,27,习题十三 (I),1. 计算下列极限 2. 利用小o记号表述上述极限.,28,习
11、题十三 (II),3. 计算下列极限: 若 ,29,4 在集合上连续的函数,描述函数性质的若干定义 间断点及其分类 单调收敛原理 单调函数的间断点和连续性 区间上严格单调函数的反函数 初等函数的反函数及其性质,30,描述函数性质的若干定义,在集合上连续: 若函数在集合A的每一点都连续,就说在集合A上连续. 单调函数: 设AR, : AR. 下面四类函数称作单调的: 1) 递增函数: x,yA, x(y).,31,间断点及其分类,间断点:设: AR, xA. 若在x点不连续就说在x点间断. 间断点分类: 1) 第一类间断点: 左右极限存在且有限, 其中之一与函数在该点的值不相等; 2)第二类间断
12、点: 不是第一类的间断点叫第二类间断点. 可去间断点:左右极限相等的第一类间断点. 例子: 1) (x)=x; 2) (x)=x; 3) (x)=sin1/x, 若x0, 定义(0)=0.,32,单调收敛原理,引理: 设在(a,b)上单调, 则在a点的右极限和在b点的左极限存在. 证明: 只讨论递增时在b点的左极限,其他情形类似. 记b=sup(x) | x(a,b). 情形1. b0, z(a,b), (z)b-e. 则当z0, z(a,b), (z)c. 则当zc. 因此(x)b(xb).#,33,单调函数的间断点和连续性,单调函数值由第一类间断点: 设是a,b上的单调函数, 则在各点的单
13、侧极限都存在. 因而值可能有第一类间断点. 证明: 利用单调收敛原理. # 区间上单调函数的连续性准则: 设在区间I上单调. 则在I上连续当且仅当(I)是区间. (要讨论什么是区间) 证明: 1. I是区间当且仅当x,yI, xy, 则x,yI. 这由区间的定义得到.,34,区间上单调函数的连续性准则,2. 不妨假设是递增的. 3. 若是在I上连续.任取a,b(I),a=(a)g.这样就有(c-)g. 由连续性(c)=g. 4. 假设(I)是个区间. 任取cI, 则(c-)(c) (c+). 若(c-)(c)或(c)(c+)成立,则取不到 (a),(c)中或 (c), (b)中的所有值,其中a
14、,bI,acb.因此在c点连续. #,35,区间上严格单调函数的反函数,严格单调函数的反函数定理: 如果是区间I上的严格单调函数, 则有定义在(I)上的反函数,记为g. 若在I上连续,则g在(I)上也连续. 证明: 由严格单调, 是I到(I)的双射, 因而有定义在(I)上的反函数,记为g. 若在I上连续,则直接利用区间上单调函数的连续性准则就得到g在(I)上也连续. 例子: Kepler方程x-esin x=y (0e1)在R上有严格增连续函数解x=x(y).,36,初等函数的反函数及其性质 (I),1. 指数函数exp(x)和对数函数ln(x): x0, exp(ln(x)=x; xR, l
15、n(exp(x)=x; x,yR, exp(x+y)=exp(x)exp(y); x,y0, ln(xy)=ln(x)+ln(y); x0,yR, ln(xy)=yln(x); 2. 幂函数(x)=xa(aR)的反函数仍是幂函数g(x) =x1/a, x(0,+). (奇延拓和偶延拓) 3. 反三角函数定义: y=arcsin x, x-1,1,y-p/2,p/2; y=arccos x, x -1,1, y0,p;,37,初等函数的反函数及其性质 (II),反三角函数 y=arctan x, x(-,+),y(-p/2,p/2); y=arccot x, x(-,+),y(0,p); y=a
16、rcsec x, x(-,-11,+),y(0,p/2)(p/2,p); y=arccsc x, x(-,-11,+),y(-p/2,0)(0,p/2). 反三角函数之间的关系 arcsec x=arccos 1/x; arccsc x=arcsin 1/x; x-1,1, arcsin(-x)=-arcsin x, arccos(-x)=p-arccos x; x-1,1, arcsin x+arccos x=p/2.,38,习题十四 (I),1. 研究下列函数的连续性: 2. a取什么值时,下列函数处处连续:,39,习题十四 (II),3. 设函数f, g在x=a处不连续, f+g 和f g在x=a处一定不连续吗? 4. 设函数f在x=a处连续, g在x=a处不连续, f+g 和f g在x=a处一定不连续吗? 5. 设函数f, g是a,b上的连续函数, 证明: | f |, maxf, g, min f, g也是a,b上的连续函数. 6. 设f是0,1上的连续函数,并且满足条件 证明
