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1、第二章 Poisson 过程,第一节 Poisson 过程,定义2.1 一个整数值随机过程满足下述三个条件就称为强度为的Poisson过程： (1) ； (2) 是独立增量过程； (3)对任何 ，增量 服从参数为 的Poison分布，即：,例2.1顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人小时。已知商店上午9：oo开门。试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。 解： 令t的记时单位为小时，并以9：00为起始时刻，所求事件可表示为 。其概率为：,命题2.1 一个计数过程 为泊松过程（ ）的充要条件是： (1) (2) 为齐次独立增量过程 (3) 存在正的常数
2、，使得对充分小的,定理2.1 若 为Poisson过程，则给定 下等待时间 的联合密度为： 例2.2 顾客依速率为 的Poisson过程到达车站。若火车在时刻t离站，问在 区间里顾客的平均总等待时间是多少？,解： 作为依Poisson过程到达的第一位顾客，他的到达时间为 ，等到时刻t发车需等待 而第 位旅客的等待时间为 在 区间段总共来了 位客人，所以总等待时间为 而所要求的平均总等待时间就是 。 为求出它可以先求条件期望：,注意到给定 的联合密度是与 上均匀分布中随机样本 ，的次序统计量 的联合密度是一样的。所以：,最后得：,第三节 Poisson 过程得推广,2.3.1 非齐次Poisso
3、n过程 定义2.2 记数过程称 为强度为 的非齐次泊松过程，若： （1） （2） 为独立增量过程 （3）对任意实数 ， ， 服从参数为 的泊松分布。,例2.3 商店每天营业12个小时，前三个小时到达的顾客平均为10人/小时，最后三个小时到达的顾客平均为15人/小时，中间6个小时到达的顾客20人/小时。求某天接待顾客少于100人的概率。 解：设顾客流 为非齐次泊松过程，强度函数,2.3.2 复合Poisson过程 定义2.3设 是一个泊松过程， 是一列相互独立同分布的随机变量，且与 相互独立，称随机过程 为复合泊松过程。 例2.4 设保险公司接到的索赔次数服从强度为 次/月的泊松过程，每次理赔数均服从 上的均匀分布，则一年中保险公司平均赔付总额是多少？,解：由题意，保险公司一年的赔付总额： 其中 为参数 的泊松过程， 为相互独立的 上的均匀分布随机序列。 所以,故一年平均理赔总额为: 2.3.3 标值Poisson过程 2.3.4 空间Poisson过程 2.3.5 更新过程,定义2.4 如果 为一串非负的随机变量，它们独立同分布，分布函数为 记 ， 表示第n次事件发生的时刻，则称 为更新过程。 命题2.2 更新过程 的分布 而更新函数 ，其中 为 的 重卷积， 即为 的分布函数。,
