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1、.,1.定义:,幂 级 数,一、函数项级数的一般概念,.,2.收敛点与收敛域:,3.和函数:,.,(定义域是?),函数项级数的部分和,余项,注意,(x在收敛域上),函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,.,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛.,原级数发散.,.,收敛;,发散;,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,.,2.收敛性:,.,证明,.,由(1)结论,几何说明,发散区域,发散区域,收敛区域,这是幂级数收敛的特性,.,推论,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,.,称为幂级数的收敛区间，,收敛域 = 收敛区间 + 收敛的端点,可能是,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径
2、?,.,证明,.,由比值审敛法,.,定理证毕.,.,若,在 x0 处收敛,则,在 x0 处发散,若,则,若,在 x0 处条件收敛,则,这是幂级数收敛的特性,注,利用该定理求收敛半径要求所有的,或只有有限个,.,例2 求下列幂级数的收敛区间:,解,该级数收敛,该级数发散,.,.,发散,收敛,故收敛区间为(0,1.,.,如缺项，,则,必不存在，,但幂级数并不是没有收敛半径，此时不能,套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径,例3,已知幂级数,的收敛半径R=1,求,的收敛半径,解,任取,由,收敛知,注：,.,由检比法易得,收敛,故由比较审敛法知,在,故收敛半径,内绝对收敛,注意收敛半径为1，并
3、不意味着,.,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(1) 加减法,(其中,.,(2) 乘法,(其中,(3) 除法,(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多),.,2.和函数的分析运算性质:,(收敛半径不变),.,(收敛半径不变),解,.,两边积分得,.,例5,求和函数,解,收敛域为,记,则,并求,的和,.,故,故,.,常用已知和函数的幂级数,.,记住几个常见级数的和,常数项级数求和的一种重要方法,幂级数法或Abel法,.,四、小结,1.函数项级数的概念:,2.幂级数的收敛性:,收敛半径R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,.,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,.,练 习 题,.,.,练习题答案,
