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1、第四章 随机变量的 数字特征,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的分布函数，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，分布函数一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,这一讲，我们先介绍随机变量的数学期望.,在这些数字特征中，最常用的是,期望和方差,4.1 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、小结,显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益
2、,是一个随机变量，,其概率分布为,要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较,如何求平均效益呢？,要客观地反映平均效益,即为,既要考,（万元）.,2.数学期望的定义,定义,为随机变量,的数学期望,（又称,均值）,完,则称,也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,例1,甲, 乙两人进行打靶,所得分数分别记为,它们的分布律分别为,试评定他们的成绩的好坏.,解,得,(分).,这意味着,如果甲进行很多次的射击,那么,所,得分数的算术平均就接近 1.8,很明显,乙的成绩远不如甲的成绩.,完,而乙所得分数的,数学期望为,例2,某种产品每件表面上的疵点数服从参数,的泊松分布,若规定
3、疵点数不超过 1 个为一等品,值 10 元;,疵点数大于 1 个不多于 4 个为二等品,价值 8 元;,疵点数超过 4 个为废品,求:,(1) 产品的废品率;,(2) 产品价值的平均值.,解,价,因为,所以产品的废品率为,(2) 求产品价值的平均值.,解,所以产品价值的平均值为,完,例3 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.,解: 设试开次数为X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,n,E(X),于是,二、连续型随机变量的数学期望,其密度函数为,数轴上取很密的分点,的概率为
4、,在,小区间xi, xi+1),阴影面积 近似为,小区间Xi, Xi+1),由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积 近似为,该离散型r.v 的数学期望是,定义,其密度函数为,如果,绝对收敛，,注：,（1）并非所有随机变量都有数学期望，,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,例如，,密度函数为,的密度函数为,由于广义积分,发散，,完,若XU(a,b), 则,若X服从,若X服从参数为,（2）由随机变量数学期望的定义，不难计算得：,例4,求,解,故,完,例5,求,解,使用分部积分法，,得到,完,例6,某商
5、店对某种家用电器的销售采用先使用后,付款的方式,规定:,概率密度为,一台付款 1500 元;,一台付款 2000 元;,一台付款 2500 元;,一台付款 3000 元.,解,即有,完,得,例7,设随机变量,且,并求分布函数,解,由题意知,解方程组得,例7,设随机变量,且,并求分布函数,解,解方程组得,有,所以,完,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,如何计算随机变量函数的数学期望?,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的
6、分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,定理1,下面引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理.,在,于是,(1),其概率分布为,(2),其概率密度为,则,的数学期望为,注：定理的重要性在于：,的分布，,这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便.,完,定理2,且,存在，,(1),(2),其概率密度为,注：,上述定理可推广到二维以上的情形,例8,设随机变量,求,解,分部积分得,完,例9,求,解,分布.,则有,例1
7、0,及,解,根据随机变量函数数学期望的计算公式,有,求,例10,及,解,根据随机变量函数数学期望的计算公式,有,求,完,例11,设国际市场上对我国某种出口商品的每年需,它服从区间,上的均匀分布,每销售出一吨商品,可为国,家赚取外汇 3 万元;,若销售不出,则每吨商品需贮,存费 1 万元,问应组织多少货源,才能使国家收益,最大?,解,显然应要求,达式为,表,则,此组织 3500 吨商品为好.,易得,因,完,四、数学期望的性质,1.,则,2.,则,3.,E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一
8、定能推出X,Y独立,数学期望的性质,4.,且,相互独立,则,相互独立).,注：,有,2.,则,证,这里只对离散型情形进行证明，,连续型情形留,给读者.,则由定理1，,有,完,4.,则,证,这里只对连续型情形进行证明，,离散型情形留给,读者.,所以有,所以有,注：,例如，,在例8中，,我们已计算得,但,显然,注：,例如，,在例8中，,我们已计算得,但,显然,完,例12,证明,证,因为,于是,完,例13,(二项分布的数学期望),若,求,解,因,功” 次数.,若设,则,因为,所以,可见,的数学期望是,完,例14,一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出,旅客有 10 个车站可以下车.,如到达一个车站没,有旅客下车就不停车,求,(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).,解,引入随机变量,易知,现在来求,按题意,下车的概率为,因此 20 位旅客都不在第,站下车的概率为,概率为,即,由此,进而,(次).,注:,然后利,用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之,和来求数学期望的,这种处理方法具有一定的普遍,意义.,完,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,小结,
