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1、第5讲直线、平面垂直的判定及其性质,【2014年高考会这样考】 1以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定考查空间想象 能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力 2能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公 理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直 的有关性质和判定定理的简单命题,考点梳理,(1)定义：若直线l与平面内的_一条直线都垂直，则直线l与平面垂直 (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直)即： a，b，la，lb，abP _. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_即：a，b _.,1直线与平面垂直,任意
2、,相交,l,平行,ab,(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二 面角，就说这两个平面互相垂直 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的_，则这两个 平面垂直即：a，a _. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_ 的直线与另一个平面_即：，a，b， ab _.,2平面与平面垂直,垂线,垂直,a,交线,一个转化 垂直问题的转化关系,【助学微博】,Alm Blm Clm Dlm 解析由lm，lm，又m，m一定平行于内的一条直线b.b，. 答案D,考点自测,1已知直线l，直线m，下列命题中正确的是 (),m，n，mn；mn，mn； mn，mn；m，mn，n. 其中真命题的是(
3、) A B C D 解析中，由n，得n或n，又m，mn， 故正确；中，可能n，故错误；中，直线n可能与 平面斜交或平行，也可能在平面内，故错；中，由 mn，m，可得n，又可得n，故正确 答案B,2m、n是空间中两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题：,A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析若，又m，b，bm，根据两个平面垂直的性质定理可得b，又因为a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，一定有ba，但不能保证b，即不能推出. 答案A,3(2012安徽)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内， 直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的 ()
4、,A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD 与BC”均不垂直,答案B,解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个 答案4,5. 如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_,考向一直线与平面垂直的判定与性质,审题视点 (1)由PHAD及AB平面PAD可证；(2)以AD为BCF的高，而点E到平面BCF的距离可借助PH垂直底面ABCD求得；(3)取PA的中点M，可证DM綉FE，且DM平面PAB，从而得证 (1)证明因为AB平面PAD，
5、PH平面PAD， 所以PHAB. 因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD. 又ABADA，AB，AD平面ABCD， 所以PH平面ABCD.,线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高、勾股定理等都是找线线垂直的方法,【训练1】 如图，已知BD平面ABC，ACBC，N是棱AB的中点求证：CNAD.,证明BD平面ABC，CN平面ABC，BDCN. 又ACBC，N是AB的中点 CNAB. 又BDABB，CN平面ABD. 而AD平面ABD，CNAD.,【例2】如图所示
6、，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点证明：平面ABM平面A1B1M.,考向二平面与平面垂直的判定与性质,审题视点 考虑先证明直线BM平面A1B1M，则由面面垂直的判定定理可得平面ABMA1B1M.,证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，又将“线面垂直”问题进一步转化为“线线垂直”问题,【训练2】 在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF的中点，BNCE. (1)求证：CF平面MBD；
7、 (2)求证：CF平面BDN.,证明(1)连接AC交BD于点O，连接OM.因为四边形ABCD是正方形， 所以O为AC的中点 因为M为AF的中点，所以FCMO. 又因为MO平面MBD，FC平面 MBD，所以FC平面MBD. (2)因为正方形ABCD和矩形ABEF所 在的平面互相垂直， 所以AF平面ABCD. 又BD平面ABCD，所以AFBD. 又因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD. 因为ACAFA，所以BD平面ACF， 因为FC平面ACF，所以FCBD. 因为ABBC，ABBE，BCBEB，所以AB平面BCE.,因为BN平面BCE，所以ABBN. 易知EFAB，所以EFBN. 又因为ECB
8、N，EFECE，所以BN平面CEF. 因为FC平面CEF，所以BNCF. 因为BDBNB，所以CF平面BDN.,(1)设M是PC上的一点，求证： 平面MBD平面PAD； (2)求四棱锥PABCD的体积,考向三垂直关系的综合应用,审题视点 (1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形，高为P到面ABCD的距离,(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化 (2)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积,【训练3】 (2012江苏)
9、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点 求证：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直线A1F平面ADE.,证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC. 又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE， 所以AD平面BCC1B1. 又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1. (2)因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1. 因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1A1F
10、. 又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1， 所以A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE， 所以直线A1F平面ADE.,【命题研究】 通过分析近几年各省市的高考试题可以看出，高考对线面垂直、面面垂直的判定和性质的考查每年都有，主要以解答题形式出现，考查线面位置关系的相互转化，难度适中,规范解答13垂直关系综合问题的规范解答,(1)证明：PQ平面DCQ； (2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值,教你审题 (1)证明PQDC，PQQD，进而可得PQ平面DCQ； (2)设出正方形的边长为a，分
11、别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值,阅卷老师手记 解答此类问题，以下几点易造成失分： (1)解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻； (2)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面； (3)答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述，因此，在复习中要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达,证明线面垂直问题的答题模板 第一步：作(找)出所证线面垂直中的平面内的两条相交直线； 第二步：证明线线垂直； 第三步：根据线面垂直的判定定理证明线面垂直； 第四步：反思回顾，检查解题过程是否规范,【试一试】 (2013烟台一模)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，ABC60，四边形ACFE为矩形，平面ACFE平面ABCD，CF1.,(1)求证：BC平面ACFE； (2)点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为(90)，试求cos 的取值范围,
