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1、第四章 平面一般力系,位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系。,定义：,前 言,工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面一般力系来处理。,图4-1 钢桁梁桥简图,图4-1所示钢桁梁桥简图，在初步分析时可简化为平面一般力系。,如图4-2所示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座反力可简化为平面一般力系。,图4-2 屋架及计算简图,图4-3所示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座反力可视为一个平面一般力系。,图4-3 起重机简图,4-1 力线平移定理,图4-4 力线平移定理的证明,定理 ：,作用在刚体上某点的力 F，可以平行移动到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力
2、偶矩等于原来的力 F 对平移点之矩。,证明如下图所示：,图4-4 力线平移定理的证明,可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。,如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与球相切“削球”，则球将产生平动和转动。,思考题 4-1,用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮心，由此说明图中的力对轮子的外效应有何不同？,力线平移定理有何用途？,4-2 平面一般力系向一点简化,设在某一刚体上作用着平面一般力系F1,F2,F
3、n ,如图4-7 所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。,应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移（图4-8 b),再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图4-8 c) 。过程为：,图4-8 平面一般力系的简化,(4-2),现在，如何求合力？,事实上，可直接用原力系F1，F 2，.F n 的各力作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。 FR的大小和方向等于主矢，作用点在O点。,由此可见，主矢与简化中心的位置无关。,(4-3),由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，
4、称为原力系对O点的主矩。,力系合成为一力偶，所以主矩与简化中心的位置无关。,平面一般力系的三种简化结果：,1. 力系简化为力偶,2. 力系简化为合力,FR就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。,(1),力系仍可简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。,图4-10 力系简化为合力,(2),3. 力系平衡,平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。,合力矩定理,设平面一般力系的合为FR，它对任意点O取矩（图a)，由力线平移定理得图(b),图4-11 合力矩定理证明图示,证明：,图示一塔示起重机。机架m1=50 t,重心在O点。已知起重机
5、的最大起吊质量m2=25 t,欲使起重机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量m3 应如何？图中 a =3 m , b =1.5 m, c =6 m, l =10 m。,解：机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别为m1g 、m2g、 m3g，这是一个平面一般力系的特例平面平行力系。,例题 4-1,FR 的方向铅垂向下。,取坐标如图，可知合力FR的投影为,合力的作用线与x 轴的交点的坐标设为x，由合力矩定理有,例题 4-1,式中x随 m2、m3 而变，其他各量都是不变的。,(a),(1) 空载时，m2=0， x0, 由 (a) 式得,m1(a+b)-m3c0,例题 4-1,(2) 满载时, m2=2
6、5 t , x a, 由(a) 式得,欲使起重机不致翻倒，应有,36.11 tm337.5 t,为了保证安全，可取m3=36.537 t 。,例题 4-1,一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？,图 4-13,答：合力与两点连线平行时可能。,思考题 4-2,在什么情况下，一平面力系向一点简化所得的主矩为零？,思考题 4-3,有一平面一般力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？,思考题 4-4,4-3 分布荷载,集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。,例如，道路给
7、轮子的力等。,几种分布荷载：,体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。,面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。,线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。,(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。,分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。,1. 荷载的单位,(2) 体分布荷载的单位： N/m3 ， (3) 面分布荷载的单位： N/m2 ， (4) 线分布荷载的单位： N/m 。,(1) 均布荷载：集度为常数的分布荷载。,例如图中的均布荷载的合力为：,其作用线通过梁的中点。,1. 分布荷载的计算方法,如坝体所受的水压力等。,(2)
8、非均布荷载：荷载集度不是常数。,求图示梁上分布荷载的合力。,解： 取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为,微段上的荷载为：,以A为简化中心，有,C,例题 4-2,由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：,C,例题 4-2,已知水坝的坝前水深 h=10 m,求 1 m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。,例题 4-3,解：在深度为y处，水的压强,取1 m 长的坝考虑时，作用于把坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。,例题 4-3,该分布荷载是三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3处。,例题 4-3,固定端约束,4-4
9、平面一般力系的平衡条件,平面一般力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。,平面一般力系的平衡方程（投影式）为：,图示一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重 P = 4 kN,荷载 F =10 kN,有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。,例题 4-4,解：(1) 取AB梁为研究对象。 (2) 画受力图。,未知量三个：FAx、FAy、FT ，,独立的平衡方程数也是三个。,(3) 列平衡方程，选坐标如图所示。,例题 4-4,由(3)解得,以FT之值代入(1)、(2)，可得：,FAx=16.5 kN, FAy=4.5 k
10、N。,例题 4-4,即铰链A的反力及与x轴正向的夹角为：,如果例4-4中的荷载F可以沿AB梁移动，问：荷载F在什么位置时杆BC所受的拉力FT最大？其值为多少？,思考题 4-5,例题 4-4,看可否求出FT、FAx、FAy；,(1) 由右图所示的受力图，试按,思考题 4-6,(2) 由右图所示的受力图，试按,看可否求出FT、FAx、FAy；,(3) 由右图所示的受力图，试按,看可否求出FT、FAx、FAy；,思考题 4-6,平面一般力系平衡方程的其他形式：,1. 二矩式,注意：A、B两点连线不垂直于x轴。,B,2. 三矩式,注意：A、B、C三点不在一条线上。,由右图所示的受力图，可否列出下列四个
11、独立的平衡方程？,为什么其中必有一个是从属的？,思考题 4-7,图示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求A和B处的支座约束力。,例 4-5的图,解：(1) 选AB梁为研究对象。 (2) 画受力图如右图所示。 (3) 取坐标如图。,例题 4-5,(4) 列平衡方程,解得,例题 4-5,在例4-5中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。,思考题 4-8,4-5 平面平行力系的平衡条件,平面平行力系：,图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：,各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。,平面平行力系的平衡条件为：,即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力
12、的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。,平面平行力系平衡方程的二矩式,注意：A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。,在例4-1中，设m2=20 t,m3=37 t,其他数据同题4-1。即，a =3 m,b =1.5 m，c =6 m,l =10 m,求左右两轨的约束力。,解：画出起重机的受力图。可见它受到的是一个平面平行力系。,取坐标如图，列平衡方程,得,其中,求出的左右轨的约束力均不为负值，可见所取平衡锤的质量可以保证安全。,图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？,思考题 4-9,静定和超静定的概念：,静定问题：一个静力平衡问题，如果
13、未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出这些未知量。,超静定问题：也叫静不定问题，是一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。,注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。,分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。,平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？,思考题 4-10,平面一般力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？,思考题 4-11,平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什
14、么？,？,思考题 4-12,平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？,M=M1+ M2+ + Mn =0 , 或 M=M=0,平面力偶系图式,思考题 4-13,4-6 物体系统的平衡问题,物体系：由几个物体通过一定的约束方式联系在一起的系统。,1. 内力和外力,外力：系统以外的物体给所研究系统的力。 内力：在系统内部，各个物体之间，或一个物体的这一部分与另一部分之间，相互作用的力。,内力必然成对存在，它们是大小相等、指向相反的力，或大小相等、转向相反的力偶。,2. 物体系平衡问题的静定或超静定,物体系是由几个物体组成，可分别分析各个物体的受力情况，画出受力图。,若未知量总数超过独立的平衡方程
15、总数，则问题是超静定的。,总计独立平衡方程数，与问题中未知量的总数相比较。,根据受力图的力系类型，可知各有几个独立的平衡方程，如平面一般力系有三个独立的平衡方程等。,若未知量总数小于独立的平衡方程总数，则系,统可能不平衡，而若计算表明，所有的平衡方程都能满足，则说明系统处于平衡，但题给的条件有些是多余的或系统的结构是不稳固的。,若未知量总数正好等于独立的平衡方程总数，则问题是静定的。,注意：,(1) 在总计独立的平衡方程数时，应分别考虑系统中每一个物体，而系统的整体则不应再加考虑。因为系统中每一个物体既已处于平衡，整个,系统当然处于平衡，其平衡方程可由各个物体的平衡方程推出，因而是不独立的。（
16、局部平衡则整体平衡）,(2) 在求解物体系的平衡问题时，不仅要研究整体，还要研究局部个体，才能使问题得到解决。应该从未知量较少或未知量数等于独立的平衡方程数的受力图开始，逐步求解。（先易后难原则）,求图示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。,例题 4-7,分析：未知量9个，5个支座反力，C、 E处铰链反力各2个，共9个未知量。考虑3个梁的平衡，共有9个独立的平衡方程。,解：(1) 研究EG梁,例题 4-7,由对称关系得：,(2) 研究CE梁,例题 4-7,(3) 研究AC梁,例题 4-7,例题 4-7,若将A处改为活动铰支座，则未知量数目为8个，但在图示荷载下仍能平衡。当主动力的合力在x轴上的投影不为零时，系统能否平衡？,思考题 4-14,图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q (kN/m),拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的反力。,例题 4-8,解：(1) 研究整体其受力如图所示。,例题 4-8,(2) 研究AC,并画其受力图。,例题 4-8,系统整体是平衡的，其每个局部也是平衡的。,习题：用另一种方法解例4-
