第05章漩涡理论电子教案

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1、1,第五章,第五章：旋涡理论(vortex theory),本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。,旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究,即流场中,课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？,为什么游泳时应避开旋涡区？,2,1.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）,2.斯托克斯定理,3.汤姆逊定理,4.海姆霍兹定理,5.毕奥沙伐尔定理,6.兰金组合涡,本章讨论内容：,3,一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。,自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。,5-1旋涡

2、运动的基本概念,4,龙卷风1,6,海上漩涡,7,海上漩涡,8,飞机漩涡,9,气旋,10,气旋,11,气旋,12,园盘绕流尾流场中的旋涡,园盘形阻,13,园球绕流尾流场中的旋涡,圆球形阻,14,园柱绕流尾流场中的旋涡,圆柱绕流（交替涡）,15,有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡,机翼失速(有攻角),16,弯曲槽道内的二次流,弯管二次流,17,流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。,旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。,旋涡的产生：,18,旋涡场的几个基本概念：,涡线上所有流体质点

3、在 同瞬时的旋转角速度矢量 与此线相切。,涡线(vortex line)：,一、涡线,涡管,旋涡强度,涡线微分方程：,取涡线上一段微弧长,该处的旋转角速度,19,由涡线的定义（涡矢量与涡线相切：叉积为零），得涡线微分方程式：,(5-1),若已知 ，积分上式可得涡线。 与流线的积分一样，将看成参数。取定 值就得到该瞬时的涡线。,20,涡管,涡管（ vortex tube ）：,在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是 涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成 的管状曲面称涡管。,涡管中充满着作旋转运动的 流体，称为涡束。截面积为无 限小的涡束称为涡索（涡丝）。,涡丝（vortex filament）

4、：,21,龙卷风-涡线,涡线,22,则 dnd=2nd (5-2),为d上的旋涡强度-涡通量,若是涡管的截面，则称为涡管强度,或涡通量。,问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？,任取微分面积d， 法线分量为,沿面积分得旋涡强度：,表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量,(5-3),23,二、速度环量,二、速度环量（velocity circulation）,某瞬时在流场中任取曲线AB,在 向的投影,微元弧,24,速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方 向相同时（成锐角）为正,反之为负。,线积分方向相反的速度环量相差一负号，即,ABBA （55),速度环量的其他表示形式：,25,沿封闭

5、周线C的速度环量,26,速度环量的计算,对于无旋流场:,对于有旋场:,1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量,由公式 计算,27,2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量,对于无旋场:,对于有旋场:,（511）,此式称为斯托克斯定理,28,三、斯托克斯定理,沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度,即 cJ,（511）,或,斯托克斯定理：,环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。,29,证 明:略,上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”,（511）,30,复连通域,AB线将切开，则沿周线 ABB，A，EA前进所围的区域 为单连通域。,用斯托克斯定理有:,区域在走向的

6、左侧,31,积分路线相反，抵消掉了。,：沿外边界逆时针的环量,L ：沿内边界顺时针的环量,最后有,(5-13),这就是双连通域的斯托克斯定理。,32,反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于零，可得处处为零的结论。,但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。,推论一,33,推论二,则 有：,即,即 (与积分路径方向一致时),34,（3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）,假设：,（1）理想流体；,（2）质量力有势；,5-2 汤姆逊定理,35,在理想正压流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。,汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：,2) 推论

7、: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。,例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。,36,注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄一层为有旋运动。,又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理，流动仍保持为无旋运动。,37,- 海姆霍兹定理,海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理,（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）,海姆霍兹第一定理说明涡管各截面上的旋涡强度都相同。,若涡管很小， 垂

8、直于 d ，则上式可写成 d const.,38,不可能 的情况,因为,涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。,39,海姆霍兹第二定理,海姆霍兹第二定理涡管保持定理,正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。,由斯托克斯定理知沿周线C的=0 =J(涡通量),由汤姆逊定理该速度环量永远为零,即C所围的区域永远没有涡线通过。,即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。,40,海姆霍兹第三定理,海姆霍兹第三定理 涡管旋涡强度不随时间而变,正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管的旋涡强度不随时间而变。,由斯托克斯定理知

9、绕涡管的速度环量等于涡管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。,41,海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。,海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。,因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。,42,5-4 毕奥一沙伐尔定理,已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节要讨论的问题,问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其 它区域全为无旋区。,例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为 旋涡诱导速度场。,43,为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中的毕奥沙伐尔定理引用过来。,诱

10、导速度场与电磁场的类比,涡丝诱导的速度场的计算:,44,电磁场与诱导速度场的类比,45,电磁学中，电流强度为的导线，微元导线ds对场点所产生的磁场强度由毕奥沙伐尔公式得:,垂直于ds和所在的平面，按右手法则确定。,: ds离场点P的矢径,式中：,: 是ds与的夹角,dH的方向:,46,毕奥沙伐尔公式的形式,流体力学中毕奥沙伐尔公式的形式,旋涡强度为（环量）的ds段涡丝对于点所产生的诱导速度：,流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿整个涡丝积分：,该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场,47,流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱导速度。流体力

11、学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。,48,典型实例：,典型实例：无限长直涡丝,dx段对点的诱 导速度是：,直涡丝,段对点的 诱导速度：,方向垂直于纸面向外,49,50,在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动 都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面 点涡。如环量为，则在平面极坐标内的诱导速 度为:,R为点涡至场点的距离,例3.4中已证明这种速度场是无旋的。,51,例5.1,例5.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。,解: (a)：,点：,由BS定律,-,52,B点：,积分得:,令时,代入方程得: 1= 2= 3=- 4=,-,53,故，两点

12、的运动方程为:,点：,在(a)中，两点涡大小相等， 方向相反。,点：,两点涡相对位置保持不变，它们同时沿 方向等速向下移动。,54,点：,B点：,开始点向上，点向下运动，形成围绕 坐标原点，沿半径为的圆周的等速转动。,转动的角速度为:,情况 ( b ),55,旋涡中心点和点的运动方程为：,对于：,对于：,56,5-6 兰金组合涡,设流场中有一半径为的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。,例3.3已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角速度就是。,这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的，在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将旋涡内部和外部分开。

13、,57,（1）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动,（r R）,在旋涡中心（0rR）：速度呈线性分布,（2）旋涡外部,由无限长直涡线的诱导速度公式：,（rR）,一、速度分布,58,式中：,外部流速与成反比。,59,二、压力分布,（1）旋涡外部：流动定常且无旋,由拉格朗日积分式确定速度和压力的关 系。略去质量力有：,由边界条件，,该处0，则有0,60,1.愈靠近中心，速度值愈大，压力愈小。,2.在旋涡边界上，r=R，VVR，如相应 的压力为P,则,即在边缘R上，压力较无穷远处下降了,结论：,VR=Vr |r=R 角标是R而不是r,61,（2）旋涡内部:定常有旋流动,因有离心力，伯努利方程,流线为同

14、心圆族，不同流线上压力不同。,由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力） 求解：,拉格朗日积分不适用,也不适用,62,因 Vxy，Vy，代入上式得：,将以上两式分别乘 的dx 和 dy，再相加得：,或,积分得：,63,在旋涡边缘上：,旋涡内部压力分布：,旋涡中心,旋涡中心的相对压力为,旋涡外部:速度越大压力越小,旋涡内部:速度越小压力越小,64,65,兰金（Rankine）涡:具有自由表面流场中的铅 直方向的圆柱形涡。,压力分布：,-,+,66,67,水面旋涡的涡量在中心附近为最大，向外逐渐减少，作为一种近似，可认为是由涡量均匀分布的核心部分（称强迫涡）和其外部的无旋流动（称自由涡）两部分所组成。

15、可直接应用本节的结果。,实际情况：,兰金组合涡在气象学中常被用作台风中心的物理模型。,68,气旋,69,讨论,1.由伯努利方程知不计重力影响下，速度大则 压力小。对于兰金组合涡，为什么旋涡中心速 度小压力最低？而在旋涡边缘速度大压力反而 比旋涡中心大,能否从物理上解释?,讨论,70,例5.2,例5.2 设流场的速度分布为Vr， V= r， const，求涡线方程。,解：,容易验证: xy,涡线方程:,积分得: =1 =2 垂直于xoy平面的直线,71,例5.3 在大圆内包含了A、BC、D四个旋涡, 其强度分别为: A = B = C = D = ,求:沿周线S的速度环量,解: 由斯托克斯定理,

16、S所围区域内速度环量为零，但该区域内并 非处处无旋。,例5.3,72,所以,解： 在极坐标下,例5.4,在r=R上,73,海上漩涡,74,本章小结,1.旋涡场的基本概念（涡线，涡面，涡管，平均角速度，涡量，涡通量J，涡管强度J，速度环量）。 流场是否有旋的判别-场内涡量是否处处为零。 2.速度环量和斯托克斯定理。 3.汤姆逊定理 理想正压流体在势力场中，速度环量不随时间变化。,75,4.7 本章小结,4.海姆霍兹定理 第一定理-涡管强度守恒定理 沿涡管的涡管强度不变。 第二定理 理想正压流体在势力场中运动时，组成涡管的流体质点始终组成涡管。 第三定理 理想正压流体在势力场中运动时，其中任何涡管的强度都不随时间变化而变化。 总之，若质量力有势，流体理想且正压，则涡线、涡面、涡管及涡管强度具有保持性，无旋运动永远是无旋运动，有旋运动永远是有旋运动。 5.旋涡诱导速度 点涡在它周围(r=0除外)产生的速度场，称为点涡的诱导速度场。按具体情况计算。,76,本章小结,