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1、- 1 - 16.3 勾股定理的应用举例同步练习 第 1 题. 上午 8:00 ，甲船从港口出发，以 20 海里 /时的速度向东行驶，半个小时后， 乙船也由同一港口出发， 以相同的速度向南航行，上午10:00 时，甲、乙两船相距多少远？ 答案：解：如图所示 设甲、乙两船在10:00 时，到达BC，两点 22040AB海里， 1.52030AC海里， 根据勾股定理，在ABCRt中 222222 403050BCABAC 50BC海里 答：上午10:00 时，甲、乙两船相距50 海里 第 2 题. 在我国古代数学著作九章算术中记载了一首有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水 面是一个边长为1
2、0 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 尺，如图所示如果把这 根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面 答案：解：设水深为x尺，则芦苇长为(1)x尺， 根据勾股定理得 2 22 222 10 (1) 2 521 2512 12. xx xxx x x 芦苇的长度112113x（尺）答：水池深12 尺，芦苇长13 尺 第 3 题. 甲乙两人从同一地点出发，甲以6m/s 的速度向北走，乙以8m/s 的速度向西跑，1min 后，甲、乙相 距离有多远？ 答案：解：如图所示， 设一分钟后， 甲、乙分别走到AB，两点，6AC60 =360，860480BC， 在ABCRt中， 根
3、据勾股定理得 22222 (660)(860)ABACBC 222222 60(68 )6010(6010) 6010600AB m 答： 1min 后，甲、乙两人相距600m 港口 A B C 北 D C B - 2 - 第 4 题. 如图所示，长方形公园里要建一条小石子路，要求连结AC，两个景点，则石子路最短要多长？ 答案：解：连结AC，根据勾股定理，在ABCRt中， 222222 8006001000ACABBC， 1000ACm 两点之间线段最短， 最短路径为AC 答：石子路最短1000m 第 5 题. 如图所示，一棱长为3cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成33个小正方形，其边
4、长都 为 1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面A点沿表面爬行至右侧B点，最少要花几分钟？ 答案：解：如图所示，分两种情况： （1）将正方体的正前、右侧两面展开，使AB，在同一平面内， 则A到B的最短路径是线段AB 如图（ a）所示，4cm3cmAOBO，根据勾股定理， 得 222222 435ABAOBO，AB5cm； （2）将正方体的正前，上底两面展开，使AB，在同一平面内， 则A到B的最短路径为线段AB 如图（ b）所示，2cm5cmAOBO， 根据勾股定理，得 222222 2529255ABAOBO 比较上述两种情况（a）中AB为最短路径， 522.5s，答：它至少要爬
5、2.5s 第 6 题. 如图所示，一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看做圆柱体，且底面周 长为 4cm ，彩色丝带均匀地缠绕了30 圈，问：丝带共有多长？ 答案：解：如图所示，先分析一圈的情况，右侧为展开图 800m 600m B A D C A B A B O A O B （a） （b） - 3 - 由图可知：一圈的长度为长方形的对角线AB 长方形的长AC为圆柱的底面周长 90 4cm3cm 30 ACBC， 根据勾股定理， 222222 435 .ABACBC 5cm 530150cm1.5mAB，答：彩带共需1.5m 第 7 题. 某船向正东方向航行，在A处望见某
6、岛C在北偏东60，该船前进6 海里到达B点，则望见C岛在 北偏东30，已知在C岛周围 6 海里内有暗礁，问若船继续向东航行，有无触礁的危险？并说明理由 答案：解：由图知：ADC为直角三角形， 且906030CAD，BCD为直角三角形， 且903060CBD，CBDCADACB， 即6030ACB，30ACB6CBAB海里 在CDBRt中，9060DCBD，30BCD 11 6 22 BDBC3 海里 根据勾股定理，得 222222 6336927366CDBCBD6CD海里 若船继续向东航行，有触礁的危险 第 8 题. 如图，ABC是等腰直角三角形，ABACD，是斜边BC的中点，EF，分别是A
7、BAC， 边上的点，且DEDF，若25BECF， 求线段EF的长 答案：解：连结AD90BACABAC ， 又AD为ABC的中线，.ADDCDB ADBC 且45BADC90EDAADF ， 又90CDFADF ， . (). 5. EDACDF AEDCFD ASA AEFC 同理：12AFBE 在AEFRt中，根据勾股定理得 A B A B C A B D C 30 60 北 东 A B 1x C D F E A B C D F - 4 - 222222 51213 0 13. EFAEAF EF EF ， ， 第 9 题. 一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m处
8、，则桅杆断后两部分各是多长？ 答案：解：如图所示，根据题意， 255ABACBC， 设ABx，则25ACx， 根据勾股定理 222222 5(25)25255012.xxxxxx， 12251213ABAC， 答: 桅杆折断后的两部分分别为12，13 第 10 题. ABC中，1310ABBC，中线12AD，则AC 答案： 13 第 11 题 . 有一圆柱形罐，如图，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需 米 （油罐周长12m ，高5ABm ） 答案： 13 第 12 题. 如图，北部湾海面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地 50 海里的B处训练， 突然接 到基
9、地命令，要该舰往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治，已知C岛在基地的北偏东60方向且距 基地40A海里，又在B处的北偏西30的方向上，军舰从B处出发，平均每小时行驶20 海里，需要多少时 间才能把患病渔民送到基地医院？ 答案：解：由已知可知90ACB， 222222 504030BCABAC， 30 (3040)203.5BC，小时 答：需 3.5 小时把患者送到 第 13 题. 如图，有一个圆柱形油桶，它的高等于80 分米，底面半径为25 分米，在圆柱下底面圆周的A点 有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点在同侧的B点的食物，但AB，两点间有障碍，不能直接到达，蚂蚁 北北 B C 30 60
10、- 5 - 只能沿桶壁爬行，则蚂蚁需爬行的最短路程是多少？（取整数 3） 答案：解：圆柱侧面展开为矩形，长为503150，宽为 80， 最短距离为矩形对角线长，对角线长的平方 222 15080170， 最短距离为170 分米 第 14 题. 某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 米，当 他们把绳子的下端拉开5 米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？ 答案：解：设旗杆高为x，则绳长为1x， 根据勾股定理， 22 (1)25xx， 12113xx，答：旗杆高为12 米，绳长为13 米 第 15 题. 已知：如图，观察图形
11、回答下面问题： （1）此图形的名称为， （2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS处剪开，铺在桌面上，研究一下它的侧面展开是一个 形 （3）如果点C是SA的中点， 在C处有蜗牛想吃到的食品，恰好在A处有一只蜗牛， 但它又不能直接爬到C 处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形吗？ （4）圆锥的母线长为10cm，侧面展开图的夹角为90，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方 答案：解：（1）圆锥（2）扇形（ 3） 22 105125 第 16 题. 四边形ABCD中，ABBCCDDA、各边长分别依次为3 4 13 12、 、，且90ABC，则四边 形ABCD的面积是 答案： 3
12、6 第 17 题. 等腰ABC的底边BC上有一点D，13cm8cm15cmADBDBC，求等腰三角形腰 长AC及B的度数 答案：解：过A作AEBC于E，则有 2222 ABBEADED， 2222 7.5130.5AB， 2 225AB， A A - 6 - 15cm 15cm ACAB ACABBC ， ， ABC为等边三角形， 60B 第 18 题. 在同一个班上学的小明、小伟、小红三位同学住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、 C三点共线，且60AB米，100BC米，他们 打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设一个停靠点， 为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点的位置应该设在 答案：点B处 第 19 题. 如图是一个长8m、宽 6m 、高 5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽 的三等分点）处有一只蚊子则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m 答案：3 13或117 A B C A
