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1、,稳定性 失稳 中心受压直杆,Review,欧拉临界压力公式,不同约束条件下等直压杆的临界压力,压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力可按 = F/A 计算。,9.4 欧拉公式的应用范围经验公式,一、临界应力 (Critical stress),欧拉公式临界应力,欧拉临界压力的统一形式:,按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为:, 称为压杆的柔度（长细比），集中地反映了压杆的长度、杆端约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。, 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。,若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在
2、各平面内失稳时的柔度 ，并按较大者计算压杆的临界应力 cr 。,欧拉公式:,注意:,二、 欧拉公式的应用范围,只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。,或,即 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围。,1 的大小取决于压杆材料的力学性能。例如，对于Q235钢， 可取 E=206GPa，P=200MPa，得：,1、临界应力总图,三. 临界应力总图及压杆的分类,2、压杆的分类,大柔度杆 1,中柔度杆2 1,粗短杆 2,强度问题,临界应力与柔度之间的变化关系图。,Eular公式,例题 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相等
3、。问哪个杆先失稳。,B,C,解：,杆A,杆B,杆C,B,C,欧拉公式:,例题 压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，p=200MPa。求压杆的临界应力。,解：,因为 z y , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 z =115 1，用 欧拉公式计算临界力。,练习1,如图（a）,截面的惯性矩应为：,两端铰支时，长度系数：,解: （1）计算xoz平面的临界力和临界应力，横截面绕着y轴转。,其柔度为：,（2）计算xoy平面内的临界力及临界应力，横截面绕着z轴转。,如图（b）,截面的惯性矩为
4、：,两端固定时长度系数：,柔度为：,因 y 1 故可用欧拉公式计算。,以max来算。,木柱的临界压力：,临界应力：,一、 稳定性条件,9.5 压杆的稳定校核, 压杆临界压力, 压杆实际压力,压杆稳定性条件:,或,1、安全系数法:,2、折减系数法:,许用应力；,折减系数，与压杆的柔度和 材料有关。,计算最大的柔度系数max（压杆的实际柔度）， 1 ，2。 (2) 根据max 选择公式，计算临界应力。,根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。,二、稳定性计算,1、校核稳定性；2、设计截面尺寸；3、确定外荷载。,三、计算步骤,注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别,强度的许用应力只与材料
5、有关；稳定的许用应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。,例9.4 活塞杆由45号钢制成，S = 350MPa ， P = 280MPa， E=210GPa 。长度 l = 703mm ，直径 d=45mm 。最大压力 Fmax = 41.6kN 。规定稳定安全系数为 nSt = 810 。试校核其稳定性。,活塞杆两端简化成铰支,解：, = 1,截面为圆形,不能用欧拉公式计算临界压力。,如用直线公式，需查表得：,a= 461MPa,b= 2.568 MPa,临界压力是,活塞的工作安全系数：,所以满足稳定性要求。,例9.5 油缸活塞直经 D = 65mm，油压 p =1.2M
6、Pa。活塞杆长度 L =1250mm，材料为Q235钢，S =220MPa，E = 210GPa，nst= 6。试确定活塞杆的直经。,解：活塞杆承受的轴向压力应为：,活塞杆承受的临界压力应为：,把活塞的两端简化为铰支座。,用试算法求直径,（1）先由 欧拉公式 求直径,求得 d = 24.6mm。,取 d = 25mm,（2）用求得直径计算活塞杆柔度,由于 1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。,练习1 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端可视为铰支。材料为Q235钢，弹性模量 E=200GPa。比例极限P =200MPa，屈服极限 S =240MPa，由AB杆的稳定条件求F。(
7、若用直线公式 a = 304 MPa， b =1.12 MPa )。,解：取 BC 研究,FN,用直线公式,F =118kN,不能用欧拉公式,练习2：一压杆长L=1.5m，由两根 5686 等边角钢组成，两端铰支，压力 F=150kN，角钢为Q235钢，试用欧拉公式或经验公式求临界压力和安全系数（cr = 304 - 1.12 ）。,解：查表：一个角钢：,两根角钢图示组合之后,所以，应由经验公式求临界压力。,安全系数,cr=304-1.12,=304-1.1289.3,=204（MPa）,临界压力,练习3：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上端为球铰支座，试问 a=？时
8、，立柱的临界压力最大值为多少？,解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。,两根槽钢图示组合之后:,（z1）,当,时最为合理：,2、求临界力：,大柔度杆，由欧拉公式求临界力。,9.6 提高压杆稳定性的措施,欧拉公式,越大越稳定,减小压杆长度 l,减小长度系数（增强约束）,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,增大弹性模量 E（合理选择材料）,减小压杆长度 l,减小长度系数（增强约束）,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。 （1）大柔度杆采用不同钢材对稳定性差别不大； （2）中柔度杆临界力与强度有关，采用不同材料 对稳定性有一定的影响； （3）小柔度杆属于强度问题，采用不同材料有影响。,增大弹性模量 E（合理选择材料）,小 结,1、了解压杆稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念,2、掌握压杆柔度的计算方法，以及判断大柔度、中柔度、小柔度压杆的原则,3、熟知压杆临界应力总图，能根据压杆的类别选用合适的公式计算临界应力,4、掌握简单压杆的稳定计算方法,5、了解提高压杆稳定性的主要措施,Thank you!,
