第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例

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1、第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例,1.三角形的面积公式 （1） （h表示边a上的高）. （2） （3） (r为三角形的内切圆半径).,2.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰 角，在水平线下方的角叫俯角（如图）.,上方,(2)方位角: 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图).,(3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图) (i)北偏东即由指北方向顺时针 旋转到达目标方向； (ii)北偏西即由指北方向逆时针 旋转到达目标方向； (iii)南偏西等其他方向角类似.,(4)坡角与坡度： 坡角:坡面与水平面所成的二

2、面角的 度数(如图，角为坡角)； 坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比 (如图，i为坡度).坡度又称为坡比.,3.用正、余弦定理解应用题的一般步骤 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清所给量之间的关系. （2）根据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形的问题. （3）选择正弦定理或余弦定理解三角形. （4）将三角形的解还原为实际问题，解题时要注意实际问题中的单位、近似计算等要求.,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）. (1)面积公式中 其实质就是 面积公式 (h为相应边上的高)的变形.( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ( ) (3)方位角与方向

3、角其实质是一样的，均是确定观察点与目标 点之间的位置关系.( ) （4）方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般 是 ( ) (5)仰角、俯角、方位角的主要区别在于参照物不同.( ),【解析】（1）正确.如 即为边a上的高. （2）错误.俯角是视线与水平线所构成的角. （3）正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位 置关系的. （4）正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平 角，故大小的范围为0,2)，而方向角大小的范围由定义可 知为,(5)正确.由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对 于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的. 答案：(1) （2）

4、(3) (4) (5),1.在ABC中, 则SABC的值为( ) 【解析】选C.由已知得,2.在ABC中, 则cos A等于( ) 【解析】选D.由已知得 得， 即 故,3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的方向为( ) (A)北偏西5 (B)北偏西10 (C)北偏西15 (D)北偏西20,【解析】选B.由已知ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010， 灯塔A位于灯塔B的北偏西10.,4.已知A，B两地的距离为10 km,B，C两地的距离为20 km,现测 得ABC=12

5、0，则A，C两地的距离为_km. 【解析】如图所示， 由余弦定理可得： AC2=100+400-21020 cos 120=700， 答案：,5.某运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为15的看台上,同 一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和 30,第一排和最后一排的距离为 米(如图所示),则旗杆 的高度为米.,【解析】如图所示,依题意可知AEC=45, ACE=180-60-15=105, EAC=180-45-105=30. 由正弦定理可知 AC= sinCEA= (米), 在RtABC中, AB=ACsinACB= =30(米). 即旗杆的高度为30米. 答案:30,考向

6、1 与三角形面积有关的问题 【典例1】（1）（2013中山模拟）已知O为ABC内一点，满 足 且 则OBC的面积为 ( ),（2）（2013黄山模拟）在ABC中，角A，B，C所对的边分 别为a,b,c，设S为ABC的面积，满足 则角A 的最大值是( ) （3）(2013北京模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,角A是锐角,且 b=2asinB. 求角A的度数; 若a=7,ABC的面积为 ,求ABC的周长.,【思路点拨】（1）先确定O点的位置，可知O为ABC的重心，再利用向量关系求得ABC面积即可求得SOBC. （2）由余弦定理及面积公式可得tan A的范围，再求最大值

7、. （3）利用正弦定理得角A,再利用余弦定理得b+c,从而可求周长.,【规范解答】（1）选B.由 可知O为ABC的重 心，故 由 得cbcos BAC=2, 又 故bc=4, 故,（2）选B.由 得 tan A1, 又 角A的最大值为,(3)由已知得 由正弦定理 得 sin A= .又A为锐角,故A= 由余弦定理得cos A= 即b2+c2-49=bc, 由 bcsin A= 得bc=40, 故b2+c2=89,得(b+c)2=169. 又b0,c0,b+c=13, 故ABC的周长为20.,【互动探究】若将本例题(1)中“ ”改为“O 为ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则OBC的面积又

8、该如何求解?,【解析】由 得cbcos A=2. 又 bc=4, 又O为ABC中线AD的中点, 故,【拓展提升】三角形的面积公式 已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别 为边a,b,c上的高. （1）已知一边和这边上的高: （2）已知两边及其夹角：,（3）已知三边： 其中 （4）已知三边和外接圆半径R，则,【变式备选】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知 (1)求 的值. (2)若 求ABC的面积S.,【解析】(1)方法一:在ABC中，由 及正弦定理可得 即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos

9、 B， 则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B， sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=，则sin C=2sin A， 即,方法二：在ABC中，由 可得， bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B， 由余弦定理可得 整理可得c=2a.由正弦定理可得 (2)由c=2a及 可得 4=c2+a2-2accos B=4a2+a2-a2=4a2,则a=1，c=2， 即,考向 2 测量距离问题 【典例2】（1）（2013聊城模拟）如图,设A，B两点在河的 两岸，一测量者在A的同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离 是50

10、 m，ACB=45，CAB=105后，就可以计算出A，B两 点的距离为( ),(2)（2013马鞍山模拟）甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的 速度向正北方向航行，AB=10 km,同时乙船自岛A出发以6 km/h 的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时， 它们所航行的时间为( ) (3)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB=75， CBA=60,则A，C两点之间的距离为_千米.,【思路点拨】（1）先求得ABC，再利用正弦定理可解. （2）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再用二次函数知识求最值即可. （3）利用已知条件求得ACB，再利用正弦定理求解.,【规范

11、解答】(1)选A.由ACB=45，CAB=105, 得ABC=30, 由正弦定理得,(2)选A.如图，设经过t h甲船航行到C处， 乙船航行到D处.在ACD中，AC=10-4t, AD=6t,由余弦定理得CD2=(10-4t)2+(6t)2- 2(10-4t)6tcos 120=28t2-20t+100. 故当 时,CD2有最小值， 即两船之间的距离最短.,(3)由CAB=75,CBA=60, 得ACB=180-75-60=45. 由正弦定理得 即 （千米）. 答案：,【互动探究】若将本例（1）中A，B两点放到河岸的同侧，但 不能到达，在对岸的岸边选取相距 km的C，D两点，同时， 测得ACB

12、75，BCD45，ADC30，ADB 45(A，B，C，D在同一平面内)，则A，B两点之间的距离又 如何求解?,【解析】如图所示， 在ACD中， ADC30， ACD120， CAD30， 在BDC中， CBD180457560.,由正弦定理得 在ABC中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcosBCA， 即 即两点A，B之间的距离为,【拓展提升】解决距离问题的技巧 解决此类问题的实质就是解三角形，一般都离不开正弦定理和余弦定理.在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解.解题时要注意：基线的选取要恰当、准确;选取的三角形及正、余弦定理要恰当.,【变式

13、备选】如图，A，B是海面上位于 东西方向相距 海里的两个观测 点，现位于A点北偏东45，B点北偏西 60的D点有一艘轮船发出求救信号， 位于B点南偏西60且与B点相距 海里的C点的救援船立即 前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要 多长时间？,【解析】由题意知 海里，DBA=90-60=30,DAB=90-45=45， ADB=180-(45+30)=105. 在ABD中，由正弦定理得 (海里). 又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60， 海里，,在DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC CD=30海里.故所需时间 （小时）.

14、故救援船到达D点需要1小时.,考向 3 测量高度、角度问题 【典例3】(1)(2013鹰潭模拟）如图， 为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选 一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得 点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15 方向走10米到位置D，测得BDC=45， 则塔AB的高是_米.,(2)(2013西安模拟）如图，在某港口 A处获悉，其正东方向20海里B处有一艘 渔船遇险等待营救，此时救援船在港口 的南偏西30据港口10海里的C处，救援 船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船. 求接到救援命令时救援船距渔船的距离； 试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处 救援？,【思路

15、点拨】（1）先求出BCD，在BCD中，由正弦定理求 得BC，然后在RtABC中求AB. (2)在ABC中，由余弦定理求BC； 在ABC中，由正弦定理求得sin ACB,然后根据 确定出ACB的大小，最后确定方向角.,【规范解答】(1)在BCD中，CD=10，BDC=45，BCD=15+90=105，DBC=30， 在RtABC中， (米）. 答案：,(2)由题意得:ABC中，AB=20，AC=10，CAB=120， 由余弦定理得 CB2=AB2+AC2-2ABACcosCAB, 即CB2=202+102-22010cos 120=700, 即接到救援命令时救援船距渔船的距离为 海里.,ABC中

16、， 由正弦定理得 即 所以救援船应沿北偏东71的方向前往B处救援.,【拓展提升】处理高度问题的注意事项 (1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错. 【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.,【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角是30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，求电视塔的高度.,【解析】如图，设电视塔AB的高为x