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1、1,第三章 线性系统的能控性和能观测性,3.1 线性系统能控性和能观测性的概念 3.2 线性定常连续系统的能控性 3.3 线性离散系统的能控性 3.4 线性定常系统的输出能控性 3.5 线性定常连续系统的能观测性 3.6 线性定常离散系统的能观测性 3.7 对偶原理 3.8 能控性和能观测性与传递函数的关系 3.9 线性定常系统结构分解 3.10最小实现,2,教学要求： 1.正确理解定常和离散系统可控性与可观测 性的基本概念与判据。 2.熟练掌握能控标准型与能观测标准型。 3.掌握对偶原理，规范分解方法。 4.理解传递函数的实现问题， 重点内容： 能控、能观测的含义和定义。 定常系统的能控、能
2、观测的各种判据。 线性变换的不变性。 实现与最小实现的特点和性质。,3,研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统。 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性。 系统输出能否反映状态变量 能观测性。 含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态。 能观测性:能否由输出量的测量值 各状态。,3.1 线性系统能(可)控性和能(可)观测性的概念,4,多变系统两个基本问题: 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态? 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态? 简单地说:,5,如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控
3、(状态能控) 。 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的。,6,例1: 给定系统的状态空间描述: 解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。,7,例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出。,+,-,u,L,(1)当,状态可控，可观测,(2)当,u只能控制， 不可控，不可观测。,8,含义： 能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观测性：y(t) x(t) 状态方程、输出方程,9,设 若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态 转移到任意终态，则该系统完全能
4、控。,3.2 线性定常连续系统的能(可)控性,1. 定义,10,说明： 任意初态(状态空间中任一点),零终态 能控 零初态 任意终态,能达,11,2. 定理1,（n为系统维数）,12,定理1(秩判据 )证明：,13,假设 则 由Hamilton定理推论,14,令,15,16,例 试判断下列系统的状态可控性。,(1),(2),17,（1）,该系统不可控。,解：,（2）,该系统不可控。,18,例： 试判断系统能控性。,19,解： rank =23,不能控。,20,对于： 行数列数的情况下求秩时： rank =rank,21,若为对角型，则状态完全能控的充要条件为： 中没有任意一行的元素全为零。,3
5、. 定理2：若,22,23,例: 试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。,1)可控,3)可控,2)不可控,4)不可控,24,例：线性系统的状态方程为 其中： 试判断该系统的能控性。,25,解： 如果rank =2, 则必须要求,26,若 为约当型，则状态完全能控的充要条件是： 对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,4. 定理3：设,27,例: 试判断下列已经非奇异变换 成约当规范型的系统的可控性。,1)可控,2)不可控,28,例：设系统的状态方程为 其中： 试判断系统的能控性。,29,解： 而b1是任意值，且
6、b20,rank Sc =2 则该系统能控。,30,5. 当的特征值,且,则可以经过,将A化为约当型。,如下:,31,32,且,33,由 的最后一行组 成的矩阵：,34,小结,约当型判据:系统状态完全能控的充要条件是:,(1).相异特征值对应输入矩阵中没有任何一行,的元素全为零。,(2).有重根的各约当块的最后一行相对应输入,矩阵中的各行的元素不得全为零。,(3).对应 中等特征值的所有约当块末行的,输入矩阵中的那些行线性无关。,35,例：设，已知,行线性无关,不全为零,能控,36,设 令则： 其中：,证明：,6. 线性变换后系统的能控性不变,37,系统的能控性不变,38,设 (单输入单输出系
7、统) 如果系统能控， 则必存在一个非奇异变换 可将状态方程化为能控标准型：,7. 化能控系统为能控标准型,39,其中：,40,且：,41,证明：(由 推得 ),42,43,44,45,计算可控性判别矩阵 计算可控性判别矩阵的逆矩阵 取出 的最后一行,构成 行向量 构造P阵,小结:变换矩阵 的求法,变换可将可控系统状态方程化为能控标准型,46,例： 求能控标准型。,47,解： rank Sc=2 能控,48,则,49,3.3线性离散系统的能控性,其中:,1. 定义：设线性定常离散系统的状态方程:,50,若存在控制向量序列 能在有限时间内，将系统 从第k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则
8、称系统在第k步上是能控的如果系统在第k步的所有状态X(k)是能控的，则称系统为完全能控。,51,则系统状态完全能控的充要条件： rankSc=n 其中：,2. 定理：设,52,证明：(以单输入为例) 设 假设：,53,这里x(0)是任意的,54,为满秩矩阵 可求出u(0),u(1), u(n-1),55,例1： 判断系统的能控性。,56,解：,该系统能控,57,若已知 求u(0),u(1),u(2),58,59,设x(3)=0,60,解得： 因此，对于任意x(0)，都能求出 u(0),u(1),u(2), 使 x(0) x(3)=0,61,例2： 判断能控性 能否存在 对任意x(0) x(1)
9、=0？,62,解：,rank Sc=3=n 因此该系统能控 所以一定可使任意x(0) x(3)=0,63,64,但不能对任意x(0) x(1)=0,65,3.4 线性定常系统的输出能控性 下面研究系统输出的能控性。设线性定常系统为 其中， ， ， 。 输出能控性定义：若对任一输出y(t0) 和另一输出 y(tf) ，存在一个有限的时间 t0,tf 和一个分段连续输入u(t)，能在t0,tf 内使输出y(t0) 转移到y(tf) ，则称系统是输出能控的，否则称为输出不能控的。 输出能控性判别准则：系统输出能控的充分必要条件是:,66,例： 判断系统是否输出能控。 解：rankCB CAB D=r
10、ank1 -2 0=1=q 输出能控 状态不能控,67,3.5 线性定常连续系统的能(可)观测性,在实际工程实践中,往往需要知道状态变 量,而由于各种原因,不一定都能直接获取, 但输出变量总是可以获取和测量的。 能观测性能否通过对输出的测量来确定 系统的状态变量。,68,设线性定常连续系统状态空间表式： 定义：对任意给定u(t)，在t0,tf内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(t0),则系统是完全能(可)观测的,简称系统能(可)观测。 y x(t0) 能观 y x(tf ) 能检,确定,确定,69,线性定常系统状态完全能观测的充要条件是：,其能观测判别矩阵 So 秩为n，即:,2. 定理1：
11、,70,证明： 设,71,这里：是一个单位阵。 要使y(t) x(0),确定,72,例 试判断下列系统的可观测性。,解：,该系统可观测。,73,例试确定使下列系统可观测的a,b取值。,解：,，系统可观测。,74,若A为对角型，则系统完全能观测的充要条件是： 输出阵C中没有任何一列的元素全为零。,例: 试判别以下系统的状态可观测性。,可观测,3. 定理2：,75,例：系统状态方程为:,系统能观则要求 即 rank So =2,76,若A为约当型，则系统完全能观测的充要条件是： C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零。(如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立)。,4.
12、 定理3：,77,例: 试判别下列系统的状态可观测性。,1) 不可观测,2) 可观测,78,例: 能观,79,例：设系统的状态方程为： 判断系统的能观性。 解：,能观,80,设A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ，,5. 约当型判据：,81,82,83,且 要使系统完全能观，则由 的第一列组成的矩阵： 对 均列线性无关。,84,小结,约当型判据:系统完全能观测的充要条件是:,(1).相异特征值对应输出矩阵中没有任何一列,的元素全为零。,(2).有重根的各约当块的第一列相对应输出矩,阵中的各列的元素不得全为零。,(3).对应 中等特征值的所有约当块第一列的,输出矩阵中那些列线性无关。,
13、85,如果系统能观测，但不是能观测标准型，则存在 ，将原系统化为能观测标准型：,(单输入单输出系统),6. 定理4：,设,86,其中,87,其中：,88,线性变换后系统能观测性不变 设 令,89,90,3.6 线性定常离散系统的能观测性,设 定义：已知u(k)，如果能由 确定x(k)，则第k步是能观测的。如果每个k步都能观测，则系统完全能观测。,91,y(k) y(k+1) y(k+n-1),已知u(k),x(k)=,92,定理：系统状态完全能观测的充要条件 其中：,93,证明：令u(k)=0 k=0 y(0)=Cx(0) k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0) k=n-1 y(n-1)=
14、,94,当 时，x(0)有解。,95,例： 解：,96,3.7 对偶原理,由第二章： 对偶原理：,97,其中: 与 互为对偶.,98,99,3.8 能控性和能观测性与传递函数的关系,设 定理:单输入单输出线性定常系统的传递函数若有零、极点对消，则视状态变量不同的选择，系统或不能控，或为不能观测，或既不能控又不能观测。若无零、极点对消，则该系统可用一个既能控又能观测的动态方程来表示。,1. 单输入单输出系统,100,设A的特征值: , 则系统可化为:,验证:,101,当 当,不能控,不能观测,系统能控能观测,102,验证能控性: 设 不能控,则 一定存在零极点对消。,103,104,验证能观性:
15、 设 不能观,则 一定存在零极点对消。,105,106,例: 解: 能控标准型:,不能观测,107,能观测标准型:,不能控,108,不能控不能观测:,不能控不能观测,109,2. 多输入多输出系统,1）可控的充要条件：,(SI-A)-1B 的n行线性无关。,2）可观测的充要条件：,C(SI-A)-1 的n列线性无关。,110,3.9 线性定常系统结构分解,x,-能控能观测 -能控不能观测 -不能控能观测 -不能控不能观测,111,系统的能控性分解 设 其中 , 系统不能控。 引入 变换, sc中r个线性无关列向量 任意n-r个列向量 存在,112,则,-能控状态子向量,-不能控状态子向量,r,n-r,r列,n-r列,行,行,q行,列,列,113,则有: 能控子系统: 不能控子系统:,114,
