《2020年全国统一高考【真题】：数学试卷（理科新课标Ⅲ）（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年全国统一高考【真题】：数学试卷（理科新课标Ⅲ）（含解析）（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、真题面纱一手揭开2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前 ,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时 ,选出每小题答案后 ,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动 ,用橡皮擦干净后 ,再选涂其他答案标号.回答非选择题时 ,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后 ,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题 ,每小题5分 ,共60分.在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,则中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】
2、由题意 ,中的元素满足 ,且 ,由 ,得 ,所以满足的有 ,故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算 ,考查学生对交集定义的理解 ,是一道容易题.2.复数的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为 ,所以复数的虚部为.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算 ,涉及到复数的虚部的定义 ,是一道基础题.3.在一组样本数据中 ,1 ,2 ,3 ,4出现的频率分别为 ,且 ,则下面四种情形中 ,对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数
3、和方差 ,由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A选项 ,该组数据的平均数为 ,方差为；对于B选项 ,该组数据的平均数为 ,方差为；对于C选项 ,该组数据的平均数为 ,方差为；对于D选项 ,该组数据的平均数为 ,方差为.因此 ,B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较 ,考查方差公式的应用 ,考查计算能力 ,属于基础题.4.Logistic模型是常用数学模型之一 ,可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ,其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时 ,标志着已初步遏制疫情 ,则约为
4、（ ）（ln193）A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】 ,所以 ,则 ,所以 , ,解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算 ,考查指数与对数的互化 ,考查计算能力 ,属于中等题.5.设为坐标原点 ,直线与抛物线C：交于 ,两点 ,若 ,则的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件 ,结合抛物线的对称性 ,可知 ,从而可以确定出点的坐标 ,代入方程求得的值 ,进而求得其焦点坐标 ,得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点 ,且 ,根据抛物线的对称性可以确定 ,所以 ,代入抛物线方
5、程 ,求得 ,所以其焦点坐标为 ,故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题 ,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点 ,抛物线的对称性 ,点在抛物线上的条件 ,抛物线的焦点坐标 ,属于简单题目.6.已知向量a ,b满足 , , ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出、的值 ,利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】 , , ,. ,因此 ,.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算 ,同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算 ,考查计算能力 ,属于中等题.7.在ABC中 ,cosC= ,AC=4 ,BC=3 ,则cosB=（ ）A. B. C.
6、 D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得 ,再根据 ,即可求得答案.【详解】在中 , , ,根据余弦定理：可得 ,即由故.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形 ,考查了分析能力和计算能力 ,属于基础题.8.下图为某几何体的三视图 ,则该几何体的表面积是（ ）A. 6+4B. 4+4C. 6+2D. 4+2【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征 ,在正方体中截取出符合题意的立体图形 ,求出每个面的面积 ,即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征 ,在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：根据勾股定理可得：是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：
7、该几何体的表面积是：.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题 ,解题关键是掌握根据三视图画出立体图形 ,考查了分析能力和空间想象能力 ,属于基础题.9.已知2tantan(+)=7 ,则tan=（ ）A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】D【解析】分析】利用两角和的正切公式 ,结合换元法 ,解一元二次方程 ,即可得出答案.【详解】 , ,令 ,则 ,整理得 ,解得 ,即.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值 ,属于中档题.10.若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切 ,则l的方程为（ ）A. y=2x+1B. y=2x+C. y=x+1D.
8、y=x+【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程 ,再由直线与圆相切的性质 ,即可得出答案.【详解】设直线在曲线上的切点为 ,则 ,函数导数为 ,则直线的斜率 ,设直线的方程为 ,即 ,由于直线与圆相切 ,则 ,两边平方并整理得 ,解得 ,（舍） ,则直线的方程为 ,即.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用 ,属于中档题.11.设双曲线C：（a0 ,b0）的左、右焦点分别为F1 ,F2 ,离心率为P是C上一点 ,且F1PF2P若PF1F2的面积为4 ,则a=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义
9、 ,三角形面积公式 ,勾股定理 ,结合离心率公式 ,即可得出答案.【详解】 , ,根据双曲线的定义可得 , ,即 , , , ,即 ,解得 ,故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用 ,涉及了勾股定理 ,三角形面积公式的应用 ,属于中档题.12.已知5584 ,13485设a=log53 ,b=log85 ,c=log138 ,则（ ）A. abcB. bacC. bcaD. cab【答案】A【解析】【分析】由题意可得、 ,利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系 ,由 ,得 ,结合可得出 ,由 ,得 ,结合 ,可得出 ,综合可得出、的大小关系.【详解】由题意可知、 , ,
10、；由 ,得 ,由 ,得 , ,可得；由 ,得 ,由 ,得 , ,可得.综上所述 ,.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较 ,涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用 ,考查推理能力 ,属于中等题.二、填空题：本题共4小题 ,每小题5分 ,共20分.13.若x ,y满足约束条件 ,则z=3x+2y的最大值为_【答案】7【解析】【分析】作出可行域 ,利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为 ,所以 ,易知截距越大 ,则越大 ,平移直线 ,当经过A点时截距最大 ,此时z最大 ,由 ,得 , ,所以.故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用
11、,涉及到求线性目标函数的最大值 ,考查学生数形结合的思想 ,是一道容易题.14.的展开式中常数项是_（用数字作答）【答案】【解析】【分析】写出二项式展开通项 ,即可求得常数项.【详解】其二项式展开通项：当 ,解得的展开式中常数项是：.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理 ,利用通项公式求二项展开式中的指定项 ,解题关键是掌握的展开通项公式 ,考查了分析能力和计算能力 ,属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1 ,母线长为3 ,则该圆锥内半径最大的球的体积为_【答案】【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题 ,然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切
12、球 ,球与圆锥内切时的轴截面如图所示 ,其中 ,且点M为BC边上的中点 ,设内切圆的圆心为 ,由于 ,故 ,设内切圆半径为 ,则： ,解得： ,其体积：.故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题 ,一种是内切 ,一种是外接解题时要认真分析图形 ,明确切点和接点的位置 ,确定有关元素间的数量关系 ,并作出合适的截面图 ,如球内切于正方体 ,切点为正方体各个面的中心 ,正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体 ,正方体的顶点均在球面上 ,正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图像关于y轴对称f（x）的图像关于原点对称f（x）的图像关于直线x=对称f（x）
13、的最小值为2其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题的正误；利用对称性的定义可判断命题的正误；取可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题 , , ,则 ,所以 ,函数的图象不关于轴对称 ,命题错误；对于命题 ,函数的定义域为 ,定义域关于原点对称 , ,所以 ,函数的图象关于原点对称 ,命题正确；对于命题 , , ,则 ,所以 ,函数的图象关于直线对称 ,命题正确；对于命题 ,当时 , ,则 ,命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解 ,考查推理能力与计算能力 ,属于中等题.三、
14、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题 ,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题 ,考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列an满足a1=3 ,（1）计算a2 ,a3 ,猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【答案】（1） , , ,证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 ,猜想得出的通项公式 ,利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得 , ,由数列的前三项可猜想数列是以为首项 ,2为公差的等差数列 ,即 ,证明如下：当时 ,成立；假设时 ,成立.那么时 ,也成立.则对任意的 ,都有成立；（2）由（1）可知 , , ,由得： ,即.【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和 ,属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天
