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1、第26章 概率波,1900年，普朗克引入能量子的概念，解释了黑体辐射的规律，为量子理论奠定了基础。 1905年，爱因斯坦提出光量子学说，说明了光电效应的实验规律，为量子理论的发展开创了新局面。 1920年，康普顿效应的发现、以及理论分析和实验结果的一致，有力地证明了光子学说的正确性。,19世纪80年代，光谱学的发展，使人们意识到光谱规律实质是显示了原子内在的机理。,1897年，J.J.汤姆孙发现了电子，促使人们探索原子的结构。,1、巴耳末系,Ha：红色 6562.10埃 Hb：深绿 4860.74埃 Hg：青色 4340.10埃 Hd：紫色 4101.20埃,瑞典埃格斯特朗在1853 年首先观
2、测到的，波长的单 位就是以他的名字命名的。,1885年瑞士巴耳末得到公式,1890年，里德伯采用波数,里德伯常量,一、氢原子光谱的规律性,氢气放电管获得氢光谱在可见光范围内有四条：,2、氢原子光谱规律,赖曼系(1916)紫外,帕邢系(1908)可见光,布喇开系(1922)近红外,普丰德系(1924)红外,汉弗莱系(1953)远红外,nf一定时，由不同的ni构成一个谱系；不同的nf构成不同的谱系。,实验表明：原子具有线光谱； 各谱线间具有一定的关系; 每一谱线的波数都可表达为两个光谱项之差。,里兹组合原理：任一条谱线的波数都等于该元素所固有的许多光谱项中的两项之差， 这是里兹在1908年发现的。
3、,表面上如此繁杂的光谱线可以用如此简单的公式表示，这是一项出色的成果。但是它是凭经验凑出来的，它为什么与实验符合得如此之好，在公式问世将近三十年内，一直是个谜。,卢瑟福（E. Rutherford，1871-1937）,1859年成为卡文迪许实验室主任J. J. Thomson的研究生。 1899年1月发现铀盐放射出射线和射线，并提出天然放射性的衰变理论和衰变定律。 天然放射性的发现与电子和X射线的发现，是20世纪三项最伟大的发现。 卢瑟福还判定粒子是带正电的氦原子核，他根据粒子散射实验提出原子的有核模型。卢瑟福被誉为原子物理之父，又是开创原子核物理学的奠基人。,英国物理学家。他于1908年获
4、得诺贝尔奖。,1903年J.J.汤姆孙提出：原子中的正电荷和原子的质量均匀地分布在半径为10-10m的球体范围内，而原子中的电子浸于此球中。,1、原子的葡萄干蛋糕模型,缺点：不能解释正负电荷不中和； 不解释氢原子光谱存在的谱线系； 不解释粒子大角度散射。,二、卢瑟福的原子有核模型,2、粒子散射实验,大部分粒子穿过金箔后只偏转很小的角度；但是在实验中竟然发现有少量粒子的偏转角度大于900，甚至约有几万分之一的粒子被向后散射了。,粒子大角度散射否定了汤姆孙的原子模型。,原子中全部正电荷集中于中心，线度10-15m左右，称为原子核，电子绕核旋转，受库仑力作用，电子运动半径10-10m。,3、卢瑟福原
5、子有核模型或行星模型,经典电磁理论：作加速运动的电子会不断地向外辐射电磁波，其频率等于电子绕核旋转的频率。由于原子不断地向外辐射电磁波，其能量会逐渐减少，电子绕核旋转的频率也要逐渐地改变，因而原子发射的光谱应该是连续光谱。 由于原子总能量的减少，电子将逐渐接近原子核而导致电子会落到原子核上。实验事实：原子是稳定的。 原子所发射的线光谱具有一定的规律。,4、卢瑟福的原子有核模型的困难,玻尔（Niels henrik David Bohr，1885-1962）,1913年发表了论原子结构与分子结构等三篇论文，提出了在卢瑟福原子有核模型基础上的关于原子稳定性和量子跃迁的三条假设，从而圆满地解释了氢原
6、子的光谱规律。 玻尔的成功，使量子理论取得重大发展，推动了量子物理的形成，具有划时代的意义。 玻尔于1922年12月10日诺贝尔诞生100周年之际，在瑞典首都接受了当年的诺贝尔物理学奖。 1937年，他来中国作学术访问，表达了对中国人民的友好情谊。,丹麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一。,此式右端应为能量差。,1913年2月，玻尔从好友那里得知了氢原子光谱的经验公式，他立即获得了他理论。 正如他后来常说的“我一看到巴耳末公式，整个问题对我来说就全部清楚了”。,由里德伯方程：,双方乘hc得：,定态假说：电子在原子中，可以在一些特定的圆轨道上运动，而不辐射电磁波，这时原子处于稳定状态(定态)并
7、具有一定的能量。,其中n=1,2,3,. 称为主量子数,量子化条件：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只的电子角动量L等于h/(2p )的整数倍的那些轨道才是稳定的,1、玻尔的基本假设,跃迁假设：当原子从高能态跃迁到低能态，即电子从高能量Ei的轨道跃迁到低能量Ef的轨道上时，要发射能量为hn 的光子：,卢瑟福的原子核模型 氢原子光谱的巴尔末公式 普朗克能量子概念,三、氢原子的玻尔理论,2、玻尔的氢原子图象,电子轨道半径,电子在半径为rn轨道上以速率vn运动,波尔半径,原子能级,氢原子能级图,n=1 基态 n=2,3,激发态,电离,把一个基态电子电离所需要的能量，电离能：,电子跃迁的辐射
8、规律：,与里德伯常量非常接近。,赖曼系,巴耳末系,帕邢系,布喇开系,氢原子的光谱图,3、玻尔氢原子理论的成绩,成功解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性。 从理论上计算了里德伯常量；解决了近30年之久的巴耳末公式之迷，打开了人们认识原子结构的大门，而且玻尔提出的一些概念，如能量量子化、量子跃迁及频率条件等，至今仍然是正确的。 能对类氢原子的光谱给予说明。,4、玻尔氢原子理论的困难,不能解释多电子原子的光谱； 不能解释谱线的强度和宽度； 不能说明原子是如何组成分子、构成液体和固体的； 在逻辑上也存在矛盾：把微观粒子看成是遵守经典力学规律的质点，又赋予它们量子化的特征。,例：基态氢原子吸收能
9、量为12.75ev的光子，求： 1)氢原子将被激发到哪个能级？ 2)受激氢原子向能级跃迁时，可能发出哪些谱线？画出定性能级图，并将这些跃迁画在能级图上。,解：,薛定谔 (Erwin Schrdinger, 18871961),薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在量子化就是本征值问题的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖。 薛定谔还是现代分子生物学
10、的奠基人，1944年，他发表一本名为什么是生命 活细胞的物理面貌的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。,奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。,1、平面简谐波波函数,一个频率为，波长为、沿x方向传播的单色平面波的波函数为：,复数形式:,2、自由粒子的波函数,一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长：,波函数可以写成：,振幅,一、波函数 概率密度,沿x方向运动的自由粒子 的德布罗意波函数,如果推广到三维的情况，自由粒子的德布罗意波函数为：,3、波函数的统计解释,爱因斯坦在提出光子
11、假设之后，对光的波动性作了量子统计解释：由光的波动性得到光强IE02，E0是电场强度的振幅。由光的量子性得到光强I=Nh ,N是单位时间通过垂直于传播方向单位面积的平均光子数。 由此得到E02N ，N与光子在单位体积内的概率即概率密度成正比，E02也与概率密度成正比。 因此，从光的粒子性来看，光波是一种概率波。,德布罗意波到底是什么波？物质波波函数和粒子的运动到底是什么关系？ 1926年，德国物理学家玻恩（M.Born）在爱因斯坦将光波振幅解释为光子出现的概率密度的观点引导下，提出了概率波的概念解决了上述问题。玻恩指出：德布罗意波是概率波，波函数振幅的平方与粒子出现的概率密度成正比。,某一时刻
12、出现在某点附近体积元dV中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。,概率密度,波函数(x,y,z,t)的统计解释：波函数模的平方代表某时刻t在空间某点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率，即|2代表概率密度。,4、波函数满足的条件,因为粒子在全空间出现是必然事件，在整个空间发现粒子的概率应该等于，即：,波函数除了要满足归一化条件外，还必须满足波函数的标准化条件：波函数是有限性函数，是单值函数，是连续函数。,归一化条件,波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博享了1954年的诺贝尔物理学奖。,例：将已求得的简谐振子的波函数 归
13、一化并求概论密度，其中 , E都 是实常数，A为待定归一化常数。,解：,令其为1，则:,归一化的波函数为,相应的概率密度为,1、自由粒子的薛定谔方程,分别对时间求一阶偏导数，对空间求二阶偏导数，得：,二、薛定谔方程,以上三式相加，得：,利用自由粒子的能量和动量的关系式：,得到自由粒子的波函数所满足的微分方程：,这就是自由粒子的薛定谔方程,2、势场中运动的粒子的薛定谔方程,哈密顿算符,已知粒子所处的势场为：,粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱。,其定态薛定谔方程：,三、一维势阱问题,方程解为：,A,B是积分常数，由边界条件确定。,整理得
14、,令,(x)在x=0时应连续，有：,得A=0。于是有：,(x)在x=a时应连续，有：,必须满足:,得到粒子在0 xa区域中运动的波函数为:,再由波函数的归一化条件有:,所以一维无限深势阱中粒子运动的波函数为:,一维无限深势阱中粒子的定态波函数是:,粒子在各处出现的概率密度,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,n = 1,n = 2,n = 3,能 量,1)粒子的能量只能取分立值，这表明能量具有量子化的性质。,2)n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，n=1称为基态，粒子处于最低能级，称为零点能。,例： 作一维运动的粒子被束缚在 0xa的范围内，已知其波函数为,求：(1)常数A；(
15、2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何处出现的概率最大？,解：(1)由归一化条件,解得,(2)粒子的概率密度为：,粒子在0到a/2区域内出现的概率：,(3)概率最大的位置应该满足：,即当,时，粒子出现的概率最大。因为0xa，故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。,在经典力学中,若EEP0，粒子的动能为正，它只能在 I 区中运动。,五、一维方势垒 隧道效应,令：,三个区间的薛定谔方程化为：,若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波和反射波；粒子从I区经过区穿过势垒到区，在区只有透射波。粒子在 x=0处的几率要大于在 x=a处出现的几率。,其解为：,根据边界条件：,解的的结果如图所
16、示：,定义粒子穿过势垒的贯穿系数：,隧道效应,当E-EP0=5eV时，势垒的宽度约50nm 以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。,氢原子的量子理论简介,氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动。量子力学对氢原子问题有完满的论述，但是数学运算仍十分复杂，超过了大学物理的教学要求。 量子力学能够给出原子系统中电子状态的描述并且自然地得出量子化的结果。 通过对氢原子量子特性的讨论，能使我们对原子世界有一个较为清晰的图象。,设氢原子中电子质量为m，电荷为-e，与原子核之间的距离为r。原子核为原点O，则电子势能为：,定态薛定鄂方程为：,在球坐标系下：,一、氢原子的定态薛定谔方程,定态薛定鄂方程为：,分离变量：,1、能量量子化与主量子数,求解氢原子波函数的径向方程，根据波函数满足单值、有限和连续条件，可得氢原子的能量是量子化的。,由解薛定鄂方程得到
