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1、要点梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种： 、 、 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： （1）代数法： （2）几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径 r的大小关系:dr 相交,d=r 相切,dr 相离.,9.4 直线、圆的位置关系,基础知识 自主学习,相离,相交,相切,判别式 =b2-4ac,2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 （1）几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一 半及半径构成直角三角形计算. （2）代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB|= |xA-xB|= 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.,3.求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2
2、的切线方程 （1）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为： . （2）若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切 线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解. 说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的 情况.,x0 x+y0y=r2,4.圆与圆的位置关系的判定 设C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r （r10）, C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r (r20),则有: |C1C2|r1+r2 C1与C2 ; |C1C2|=r1+r2 C1与C2 ; |r1-r2|C1C2|r1+r2 C1与C2 ； |C1C2|=|r1
3、-r2|（r1r2）C1与C2 ； |C1C2|r1-r2| C1与C2 .,相离,外切,相交,内切,内含,2.圆x2+y2-4x=0在点P（1, ）处的切线方程为（ ） A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=0 C.x- y+4=0 D.x- y+2=0 解析 圆方程为（x-2）2+y2=4，圆心（2，0）， 半径为2，点P在圆上，设切线方程为y- =k(x-1), 即kx-y-k+ =0, 解得k= 切线方程为y- (x-1),即x- y+2=0.,D,3.（2009陕西理，4）过原点且倾斜角为60的 直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 （ ） A. B.2 C. D.2 解析
4、过原点且倾斜角为60的直线方程为 x-y=0, 圆x2+(y-2)2=4的圆心（0，2）到直线的距离为d= 因此弦长为,D,4.圆C1：x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2：x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析 C1：（x+1）2+（y+1）2=4， 圆心C1（-1，-1），半径r1=2. C2：（x-2）2+（y-1）2=4，圆心C2（2，1）， 半径r2=2. |C1C2|= ，0|C1C2|r1+r2=4, 两圆相交，有两条公切线.,B,5.若圆x2+y2=4上仅有一个点到直线x-y-b=0的距离 为1，则实数b= .
5、解析 由已知可得，圆心到直线x-y-b=0的距离 为3， =3，b=3 .,题型一 直线与圆的位置关系 【例1】已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m- 24=0（mR）. （1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上； （2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、 相离； （3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线 被各圆截得的弦长相等.,题型分类 深度剖析,用配方法将圆的一般方程配成标准方程， 求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关 系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、 相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半 径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计
6、 算弦长.,思维启迪,（1）证明 配方得：(x-3m)2+y-（m-1）2 =25， 设圆心为（x，y）， 消去m得 x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上. （2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0， 则圆心到直线l1的距离为 圆的半径为r=5， 当dr，即-5 -3b5 -3时，直线与圆相交； 当d=r,即b=5 -3时，直线与圆相切； 当dr，即b-5 -3或b5 -3时，直线与圆 相离.,（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直 线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离 d= 且r和d均为常量. 任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截 得的弦长
7、相等.,探究提高 判断直线与圆的位置关系可以看成它们 构成的方程组有无实数解，也可以根据圆心到直线 的距离与半径长的关系进行判断. 求圆的弦长有多种方法：一是直接求出直线与圆的 交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不 求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得 出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后所 得方程两根为x1、x2,则弦长d= |x1-x2|; 三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三 角形来求.对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方 法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.,知能迁移1 m为何值时，直线2x-y+m=0与圆x2+y2=5. （1）无公共点； （2）截
8、得的弦长为2； （3）交点处两条半径互相垂直. 解 （1）由已知，圆心为O（0，0），半径r= , 圆心到直线2x-y+m=0的距离 直线与圆无公共点，dr,即 m5或m-5. 故当m5或m-5时，直线与圆无公共点.,（2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r2-d2=12，即5- =1. 得m=2 , 当m=2 时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， d= ，即 解得m= 故当m= 时，直线与圆在两交 点处的两条半径互相垂直.,题型二 圆的切线及弦长问题 【例2】已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆 (x-1)
9、2+(y-2)2=4. （1）求过M点的圆的切线方程； （2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值； （3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且 弦AB的长为2 ，求a的值.,思维启迪,解 （1）圆心C（1，2），半径为r=2, 当直线的斜率不存在时，方程为x=3. 由圆心C（1，2）到直线x=3的距离d=3-1=2=r知， 此时，直线与圆相切. 当直线的斜率存在时，设方程为y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0. 由题意知 解得k= . 方程为y-1= (x-3),即3x-4y-5=0. 故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.,（2）由题意有 解得a=0
10、或a= . （3）圆心到直线ax-y+4=0的距离为 解得a=- .,探究提高 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解.注意，需考虑无斜率的情况.求弦长问题，要充分运用圆的几何性质.,知能迁移2 已知点A（1，a），圆x2+y2=4. （1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及 切线方程； （2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线 被圆截得的弦长为2 ，求a的值. 解（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点 A在圆上，故12+a2=4，a= . 当a= 时,A（1， ）,切线方程为x+ y-4
11、=0； 当a=- 时,A（1,- ）,切线方程为x- y-4=0， a= 时，切线方程为x+ y-4=0, a=- 时，切线方程为x- y-4=0.,(2)设直线方程为x+y=b, 由于过点A，1+a=b，a=b-1. 又圆心到直线的距离d= +3=4，b= ,a= -1.,题型三 圆与圆的位置关系 【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x- 12y+m=0. （1）m取何值时两圆外切？ （2）m取何值时两圆内切？ （3）求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和 公共弦的长. 利用两圆的连心线的长与两圆半径之 间的关系判断两圆的位置关系.,思维启迪,解 两圆的标准方
12、程为（x-1）2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为M（1，3），N（5，6）， 半径分别为 和 . （1）当两圆外切时， 解得m=25+10 . （2）当两圆内切时，因定圆的半径 小于两 圆圆心间距离5， 故只有 - =5，解得m=25-10 .,（3）两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0, 即4x+3y-23=0, 公共弦长为 应注意两圆位置由圆心距和两半径的 和与差来确定，从而确定切线的条数.求公共弦方 程时，只需将两圆方程相减即可.,探究提高,知能迁移3 圆O1的方程为x2+(y+1
13、)2=4,圆O2的圆 心O2（2，1）. （1）若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内 公切线方程； （2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2 ， 求圆O2的方程. 解 （1）两圆外切， |O1O2|=r1+r2，r2=|O1O2|-r1=2（ -1）， 故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4( -1)2. 两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程 x+y+1-2 =0.,（2）设圆O2的方程为（x-2）2+(y-1)2=r , 圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4,此两圆的方程相 减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程： 4x+4y+r -8=0. 作O1HAB，则|
14、AH|= |AB|= ，O1H= ， 由圆心（0，-1）到直线的距离得 得r =4或r =20, 故圆O2的方程为 （x-2）2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.,题型四 直线与圆的综合应用 【例4】（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k 的直线l与圆C：（x-2）2+(y-3)2=1相交于M、N 两点. （1）求实数k的取值范围； （2）求证： 为定值； （3）若O为坐标原点，且 =12,求k的值.,（1）由于直线与圆C相交于M、N两点， 故利用直线与圆相交的条件即可求得k的范围. （2） =| | |cos 0 =| | |，故而想到切割线定理即可证得 结论. （3）
15、 =x1x2+y1y2，联想根与系数的关系即 可解决.,思维启迪,（1）解 方法一 直线l过点A（0，1）且斜率 为k， 直线l的方程为y=kx+1. 2分 将其代入圆C：（x-2）2+(y-3)2=1, 得（1+k2）x2-4(1+k)x+7=0. 由题意：=-4（1+k）2-4（1+k2）70， 得 4分,方法二 同方法一得直线方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0. 2分 又圆心到直线距离d= 4分 （2）证明 设过A点的圆的切线为AT，T为切点， 则|AT|2=|AM|AN|， |AT|2=（0-2）2+（1-3）2-1=7， | | |=7. 6分 根据向量的运算： =| | |c
16、os 0=7为定值. 8分,（3）解 设M（x1，y1），N（x2，y2），则由得 =x1x2+y1y2 =（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 = k=1（代入检验符合题意）. 12分,10分,探究提高 本题涉及的知识点很多，虽然含有向量，但只是用到了平面向量最基本的知识，最后 还是很常规的用到点到直线的距离、根与系数的 关系等方法，能否将问题合理地转换是解题的关键. 已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0. （1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求 此切线的方程； （2）从圆C外一点P（x1,y1）向该圆引一条切线， 切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求 使得|PM|取得最小值的点P的坐标.,知能迁移4,解（1）将圆C配方得（x+1）2+（y-2）2=2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方 程为y=kx,由直线与圆相切得 即k=2 ，从而切线方程
