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1、作业：3-4、3-19,第三章 静电场的边值问题,主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。,*3-1 电位微分方程及其解的唯一性,对上式两边取散度，得,已知，电位 与电场强度 的关系为,对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 的散度为,那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为,该方程称为泊松方程。,对于无源区，上式变为,上式称为拉普拉斯方程。,泊松方程的求解,已知分布在V 中的电荷 在无限大的自由空间产生的电位为,因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。,应用格林函数 ，即可求出泊松方程的通解为,式中格林函数 为,若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面
2、积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。,对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数 及电位 均与距离成反比，而 与距离平方成正比，所以，对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。,数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为该方程的定解条件。,静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。,通常给定的边界条件有
3、三种类型：,第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问题又称为诺依曼问题。,第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。,第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为狄利克雷问题。,对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。,泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。,由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值，因此，解的稳定性具有重要的实际意义。,解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。,解的稳定性是指当定解条件发生微小
4、变化时，所求得的解是否会发生很大的变化。,解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。,静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。,唯一性定理是静电场边值问题的一个重要定理，表述为：在场域V的边界面S上，给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有唯一解。,因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。,惟一性定理的重要意义,给出了静态场边值问题具有惟一解的条件,为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据,为求解结果的正确性提供了判据,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,例：,惟一性
5、定理的证明,反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 和 在场域V内满足同样的方程，即,且在边界面S 上有,且在边界面S 上满足同样的边界条件。,令 ，则在场域V内,或,或,由格林第一恒等式,可得到,对于第一类边界条件：,对于第二类边界条件：若 和 取同一点Q为参考点 ，则,对于第三类边界条件：,3-2 镜像法,实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。,依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，
6、因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。,关键：确定镜像电荷的大小及其位置。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。,（1）点电荷与无限大的导体平面,以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q 及 q 共同产生，即,考虑到无限大导体平面的电位为零，求得,电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。,由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。,电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先
7、的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。,半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数(n)分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入(2n-1)个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,连续分布的线电荷位于无限大的导体
8、平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数(n)分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入(2n-1)个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,（2）点电荷与导体球,1) 若导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷q 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点电位为,可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为,为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要
9、求三角形 OPq 与 OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为,镜像电荷离球心的距离d 应为,这样，根据 q 及 q 即可计算球外空间任一点的电场强度。,q,点电荷对不接地导体球的镜像,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面,球面上位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值， 而另一侧表面上的感应电荷为正值。,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d 。,然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心
10、的镜像电荷q来替代，即,球外任意点的电位为,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,3)点电荷对接地空心导体球壳的镜像,如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d a )，求球内电位。,由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。与镜像电荷q 应位于导体球壳外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到,| q|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）,（3）线电荷与带电的导体圆柱,在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像电荷 。已知
11、无限长线电荷产生的电场强度为,因此，离线电荷r 处，以 为参考点的电位为,若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为,已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值 为常数。与前同理，可令 ，由此得,两平行圆柱导体的电轴,问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和 。,特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。,分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如
12、图 2所示。,通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。,思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？,（4）点电荷与无限大的介质平面,=,+,为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于下半空间，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀空间。,但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即,已知各个点电荷产生的电场强度分别为,代入
13、上述边界条件，求得镜像电荷如下：,例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。,解 对于这种边值问题，镜像法不适用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电位微分方程为,求得,利用边界条件：,求得,最后求得,由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程中出现的积分常数，选择适当的坐标系是非常重要的。对于平面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。,此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个
14、坐标变量 r 有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法。,分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。,3-3 直角坐标系中的分离变量法,无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为,令,代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得,显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对
15、 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得,式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程,由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为,或者,式中A, B, C, D为待定常数。,分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令 ，则上述通解变为,或者,含变量 x 或 y 的常微分方
16、程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。,例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。,解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为,应用分离变量法，令,根据题意，槽中电位应满足的边界条件为,为了满足 及 边界条件，应选 Y(y) 的解为,因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 B = 0。为了满足边界条件 ，分离常数 ky 应为,求得,已知 ，求得,可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为,因为 x = 0 时，电位 ，因此，式中常数 C = 0，即,那么，,式中常数 C = A
