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1、第一单元 集合与常用逻辑用语,知识体系,1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起. 2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全
2、称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.,通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：,1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用. 2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题
3、型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备. 3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.,第一节 集合,1. 集合的含义与表示 （1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.,2. 集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.,(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法.,(3)常见集合的符号表示,2. 集合间的基本关系表
4、示,3.集合的基本算法,1. (教材改编题)用适当符号填空. 0 0，1；a,b b,a;0 ;,答案：,2. （2009福州市高中毕业班单科质量检查）集合A=x|x(x-1)0,B=y|y= ,xR，则AB是（ ） A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-,0),解析: 由已知得A=x|0 x1，B=y|y0.AB=(0,1) 答案： C,3. （2009福州市高三第二次质检）设集合A=x|1x2,B=x|xa.若AB,则a的范围是（ ） A. a1 B. a1 C. a2 D. a2,4. （2009全国)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7,8,9,全集U=A
5、B,则集合 （AB）中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个,解析: U=AB=3,4,5,7,8,9, 又AB=4,7,9, (AB)=3,5,8. 答案: A,解析: 集合A、B如图所示：，AB,a1. 答案： B,1. 集合中元素的三个基本性质的应用 (1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可. 如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.,5. 设全集U=1,3,5,7,集合M=1，|a-5|,MU,
6、 =5,7,则a的值为（ ） A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8,解析: M=5,7,M=1,3,|a-5|=3,a=8或a=2. 答案: D,2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图象语言的互化.,4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具.,3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.,（3）无序性.,（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.,5. 注意分类讨论
7、思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.,题型一 集合的基本概念 【例1】已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且A=B,求q的值.,解 由A=B可知， 解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以,分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论.,学后反思 本题考查集合元素的基本特征确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.,1. 设A=-4,2a-1, ,B=
8、9,a-5,1-a,已知AB=9，求实数a的值.,解析: AB=9,9A. (1)若2a-1=9,则a=5,此时A=-4,9,25,B=9,0,-4,AB=9,-4,与已知矛盾，舍去. （2）若a2=9,则a=3.当a=3时，A=-4,5,9,B=-2,-2,9,B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A=-4, -7,9,B=9,-8,4，符合题意. 综上所述，a=-3.,举一反三,解 先化简集合A=-4,0. 由AB=B，则B A，可知集合B可为，或0，或-4，或-4,0. (1)若B=，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a-1； (2)若0B，代入
9、得a2-1=0 a=1或a=-1， 当a=1时，B=A，符合题意； 当a=-1时，B=0A，也符合题意. (3)若-4B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意； 当a=7时，B=-12，-4，不符合题意. 综上可得，a=1或a-1.,题型二 集合之间的关系,【例2】设集合A =x| +4x=0，B =x| +2(a+1)x+a2-1=0，aR，若AB=B，求实数a的取值范围.,分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证.,学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求
10、解，最后综合后得出答案.,2. 设集合A=x|x-a|2，集合B=x|4x+1|9,且 求a的取值范围.,解析： A=x|a-2xa+2,B=x|x2或x ,AB=A,如图所示. a+2 或a-22,a 或a4.,举一反三,题型三 集合的运算,【例3】已知全集I=R,A=x|x24, ,求(CRA)(CRB).,分析 解决本题的关键： (1)集合B的化简； (2) (CRA)(CRB)=CR(AB)(等价转化).,解 A=x|x2或x-2, AB=x|x-2或x-1. (CRA)(CRB)=CR(AB)=x|-2 x -1,学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注
11、意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算.,3. 设集合A=x|x-2|2,xR,B=y|y=-x2,-1x2,则CR(AB)等于( ) A. R B. x|xR,x0 C. 0 D. ,举一反三,题型四 利用Venn图解决集合问题,【例4】设全集U是实数集R,M=x| 4,N=x|1x3,则图中阴影部分所表示的集合是( ) A. x|-2x1 B. x|-2x2 C. x|1x2 D. x|x2,分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简.,解 依题意，该图形中阴影部
12、分表示的集合应该是N( M) ,而M=x| 4=x|x2或x-2,于是 M=x|-2x2,因此N( M)=x|1x2.,学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.,举一反三,4. （2009江西）已知全集U=AB中有m个元素，（ A)( B)中有n个元素.若AB非空，则AB的元素个数为( ) A. mn B. m+n C. n-m D. m-n,解析: 如图，( A)( B)= (AB).而阴影部分就表示集合 (AB),阴影部分有
13、n个元素， 而U=AB中有m个元素，AB中有m-n个元素. 答案: D,题型五 新型集合的概念与运算 【例5】(12分)对于集合M,N，定义M-N=x|xM且xN,MN=(M-N)(N-M),设A=y|y=x2-3x,xR,B=y|y=- ,xR,求AB.,分析 充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算.,解 由y=x2-3x(xR), 即 得,y=-2x(xR),2x0,-2x0,y0, B=y|y0,.6,学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关
14、的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.,举一反三,5. （2008江西）定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1，2，B=0，2，则集合AB的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6,解析: 依题意，A*B=0,2,4,它的所有元素之和为6. 答案: D,【例】已知集合A=x|x2-3x-100,B=x|m+1x2m-1,若AB=A,求实数m的取值范围.,错解 由x2-3x-100得-2x5. 欲使B A,只需 ,解得-3m3. m的取值范围是-3m3.,错解分析 因为AB=A,即BA,又A=x|x2-3x-100=x
15、|-2x5,考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B= 与B两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.,正解 AB=A,B A. 又A=x|x2-3x-100=x|-2x5, (1)若B=，则m+12m-1,即m2,此时，总有AB=A,故m2. (2)若B，则m+12m-1,即m2,由B A得 ,解得-3m3,2m3. 综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-,3.,1. （2009福建）已知全集U=R，集合A=x| -2x0，则 A等于（ ） A. x|0 x2 B. x|0 x2 C. x|x0或x2 D. x|x0或x2,解析： 计算可得A=x|x0或x2，CuA=x|0 x2
16、. 答案： A,2. （2009泉州市一级达标中学高三期末联考）已知aR，设集合A=x|x-1|2a- -2，则A的子集个数共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个,解析： 设u=- +2a-2,=4-8=-40，u0,aR，A=x|x-1|0，A=.其子集只有. 答案： B,3. (2009广东)已知全集U=R，集合M=x|-2x-12和N=x|x=2k-1,k=1,2,的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多,解析: M=x|-1x3，集合N是正奇数集，MN=1,3. 答案: B,4. 已知集合A=x|y= ,B=y|y= ,x0,R是实数集，则( B)A=（） A. 0,1 B. 0,1) C. (-,0 D. 以上都不对,解析: 集合A=x|y= 表示的是函数的定义域，可得A=0,2; 而集合B=y|y= ,x0表示
