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1、8.2 矩阵的标准形,一、矩阵的初等变换,二、矩阵的初等矩阵,8.2 矩阵的标准形,三、等价矩阵,四、矩阵的对角化,8.2 矩阵的标准形,矩阵的初等变换是指下面三种变换:, 矩阵两行（列）互换位置；, 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ；,是一个多项式., 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍，,一、矩阵的初等变换,定义：,8.2 矩阵的标准形,代表第 行乘以非零数 c ；,代表把第 行(列)的 倍加到第,为了书写的方便，我们采用以下记号,代表 两行(列)互换；,注：,行(列).,8.2 矩阵的标准形,将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的,矩阵称为 矩阵的初等矩阵.,二、矩阵的初等矩阵,
2、定义：,注：, 全部初等矩阵有三类：,8.2 矩阵的标准形, 初等矩阵皆可逆., 对一个 的 矩阵 作一次初等行变换,就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩,阵；对 作一次初等列变换就相当于在 的右,边乘上相应的 的初等矩阵.,8.2 矩阵的标准形,为矩阵 ，则称 与 等价.,矩阵 若能经过一系列初等变换化,1) 矩阵的等价关系具有:,反身性: 与自身等价.,对称性: 与 等价 与 等价.,传递性: 与 等价, 与 等价,与 等价.,三、等价矩阵,定义：,性质：,8.2 矩阵的标准形,2) 与 等价 存在一系列初等矩阵,使,1.（引理）设 矩阵 的左上角元素,且 中至少有一个元素不能被它整除
3、，那么一定,可以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上,角元素 ，且 .,四、矩阵的对角化,8.2 矩阵的标准形,证：根据 中不能被 除尽的元素所在的,位置，分三种情形来讨论:,i) 若在 的第一列中有一个元素 不能被,除尽，,其中余式 ，且,对 作下列初等行变换:,则有,8.2 矩阵的标准形,的左上角元素 符合引理的要求，,故 为所求的矩阵.,ii) 在 的第一行中有一个元素 不能被,除尽，这种情况的证明i)与类似.,iii) 的第一行与第一列中的元素都可以被,除尽，但 中有另一个元素,8.2 矩阵的标准形,被 除尽.,对 作下述初等行变换:,我们设,8.2 矩阵的标准形,矩阵 的第一行中，有一
4、个元素：,不能被左上角元素 除尽，转为情形 ii) .,证毕.,8.2 矩阵的标准形,2.（定理2）任意一个非零的 的 一矩阵,都等价于下列形式的矩阵,多项式，且,称之为 的 标准形.,8.2 矩阵的标准形,证: 经行列调动之后，可使 的左上角元素,若 不能除尽 的全部元素，,由引理，可以找到与 等价的 ，且,由引理，又可以找到与 等价的 ，且,如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵：,左上角元素 ，,若 还不能除尽 的全部元素，,左上角元素 ，,8.2 矩阵的标准形,但次数是非负整数，不可能无止境地降低.,因此在有限步以后，将终止于一个矩阵,它的左上角元素 ，而且可以除尽,的全部元素 即,对 作初等变换:,它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.,8.2 矩阵的标准形,中的全部元素都是可以被 除尽的，,因为它们都是 中元素的组合.,如果 ，则对于 可以重复上述过程，,进而把矩阵化成,8.2 矩阵的标准形,其中 与 都是首1多项式(与,只差一个常数倍数），而且,能除尽 的全部元素.,如此下去， 最后就化成了标准形.,8.2 矩阵的标准形,例 用初等变换化矩阵为标准形.,解：,8.2 矩阵的标准形,8.2 矩阵的标准形,即为 的标准形.,
