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1、 8. 1 复数,1. 复数的表示形式,|F|, 代数形式：F=a+j b,三角形式：, 向量形式：一个复数F在复平面上可以用一条从原点O指向F对应坐标点的有向线段表示。,取复数的实部和虚部分别表示为：,ReF = a，ImF = b,|F| : 称为复数的模,: 称为复数的辐角, 指数形式：,极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写,利用欧拉公式：,在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐标形式之间的相互转换,1）,2）,* 两种转换中均要注意 所在的象限，从而确定 的大小,例：将以下复数转换为极坐标形式,F1 = 3 + j4 ；F2 = 3 j4；F3 = -3+j4； F4
2、 = -3 j4,解：,有,F1 = 3 + j4 = 553.13,F2 = 3 - j4 = 5-53.13,F3 = 3+ j4,F4 = 3 - j4 = - (3 + j4)=-553.13= 5-126.87,由,= 5126.87,= - (3 - j4),=-5-53.13,a. 复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行,b. 复数的加减运算也可用四边形法则在复平面上进行,F = F1 + F2,2. 复数的运算, 复数的加减运算,例如：设F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, 则, 复数的乘除运算,a. 复数的乘除运算可以用代数形式进行,例如：设F1 =a1+jb1
3、, F2 =a2+jb2,则,b. 复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行,两个复数的相乘，用指数形式进行, 有,两个复数的相除，用极坐标形式有,用极坐标形式表示, 有,复数 ej,F逆时针旋转一个角度 ，模不变,Fej ,旋转因子,另有 F=|F| ,Fej ,Fej ,= cos + jsin ,= 1,则,= |F| 1 ,= |F| + ,+j 、 -j 、 -1 都可以看成旋转因子,由于,所以,e j =, 8.2 正弦量,凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。 * 本书用余弦函数表示正旋量,正弦量的优点：,1. 正弦量的三要素,(1) Im 幅值 ( 振幅、 最大值)
4、,(3) i = ( t + i )|t=0 初相位(初相),( t + i ): 称为i(t)相位角或相位,(2), 角频率，单位：弧度/秒(rad/s),以电流为例,T = 2， = 2 /T = 2f , f 的单位为赫兹Hz(1/s), 与正弦量的周期T和频率f 的关系：, i与计时零点选择有关，通常| i | ，即在主值范围取值。,i(t)=Imcos(w t +y i ),2. 同频率正弦量的相位差 (phase difference),设 u(t)=Umcos(w t +y u), i(t)=Imcos(w t +y i),u与i 的相位差 j = (w t+y u)- (w t
5、+y i)= y u-y i常数,j 0， u 领先( 超前 )i ，或 i 落后( 滞后 ) u,j 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i,*不同频率正弦量无固定的相位关系,规定： | | (180),特殊相位关系：,3. 正弦量的有效值 (effective value),i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。,令,设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：,设直流电流I通过电阻R，电阻在时间T内吸收的能量为：,解得：,此即有效值的定义，又称为均方根值,电压有效值为,设 i(t)=Imcos( t + yi )，
6、,ii）正弦电流、电压的有效值,即有,因此，I 可以替代Im作为正弦量的一个要素，即,工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量 仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。 但电器设备的绝缘水平 耐压值按最大值考虑。,注意:,又,所以,8. 3相量法的基础,1. 相量法的理论基础, 在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则电路的全部稳态响应都将是同频率的正弦量 这是一个基本的结果。,从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的
7、电压电流约束关系），同频率正弦量的代数和（KCL和KVL）等运算，其结果仍是一个同频率的正弦量。, 基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，是已知的常数，正弦量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值）和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角，这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。, 电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。,2. 正弦量的相量,复函数,则,解：,对于正弦电压,解：,总之, 由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系, 给出一个正弦量, 就可以写出它相应的相量; 反之, 知道一个正弦量的相量, 则该
8、正弦量也就被确定。,3. 相量图,相量图: 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。,4. 正弦量运算转换为相应相量运算,(1) 同频率正弦量的代数和,而,所以：,上对任何t 都成立，所以总有：,拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：,即，正弦量的加减运算对应着其相应相量的加减运算。,解：1）由KCL，有：,解：2）由已知，有：,则 i 的相量为：,所以,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,解：有：,（2）正弦量的微分,证明：,结论： di/dt的相量为,则,(3) 正弦量得积分,证明：,设,即：,小结, 正弦量,相量,时域,复数
9、域, 同频正弦量的运算转化为相应相量的运算,di/dt 的相量为,的相量为,解：,由KCL: i = i1 + i2 ，故,8. 4 电路定律的相量形式,1. KCL、KVL的相量形式,2. R、L、C 电路元件电压电流关系的相量形式, 电阻元件,已知：,则,故,即, 电感元件,电压超前电流90, 电容元件,U=I /C,电压滞后电流90,线性受控源亦可用相量法处理,时域：uk = uj,相量形式：,小结：,在关联参考方向下,相量形式的欧姆定律,以VCVS为例,电压与电流同相位,电压超前电流90,电压滞后电流90,R:,L:,C:,例1. 电路如图，已知 求稳态解 i 。,解：,由KVL，有,
10、从数学方法上，可用待定系数法求它的特解，即稳态解i。现用相量法：,对上面的方程取相量，有,则,解：,例2. 电路如图，已知 R=3 ，L=1H，C=1F， =314 rad/s， 求uad、ubd 。,例3. 电路如图，各电流表的读数（有效值）分别为 A1：5 A、 A2：20 A、A3：25 A，求电流表A、A4 的读数。,令,则,由 KCL,所以，A 的读数是7.07A，A4 的读数是5A,解:,例4. 电路如图，已知电压表的读数（有效值）分别是 V2：60 V、 V3：20 V， Us=50 V，求电压表V1 的读数。,令,则,由 KVL:,即,UR = 30 V,解：,用相量图求解,所以,例5. 电路由电压源us=100cos(1000t)V, R和L=0.025H串联组成。 电感上最大电压为35.4V，试求电阻R的值和电流的表达式。,解法一：解析法,L= 10000.025 = 25 ,由KVL:,R = 66.1 ,解法二：平行四边形法,小结：,1. 求正弦稳态解是求微分方程的特解，应用相量法将该问题转化为求解复数代数方程问题。,2. 引入电路的相量模型，不必列写时域微分方程，而直接列写相量形式的代数方程。,3. 采用相量法后，电阻电路中所有网络定理和一般分析方法都可应用于交流电路。,
