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1、学通教育网: 中小学数理化专业培训机构第八讲 空间几何体一、复习目标要求1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求） ；二、2010 年命题预测 近几
2、年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解，而选择题、填空题又经常研究空间几何体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。培养好空间想能力。预测 2010 年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测如下：（1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想像的出其中的点线面间的位置关系；（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解题。三、知识精点讲解1柱、锥、台
3、、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面
4、是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底
5、面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。学通教育网: 中小学数理化专业培训机构圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影
6、图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 OX,OY,使 O=450（或 1350） ，它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线
7、，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线） 。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。四典例解析题型 1：空间几何体的构造例 1 （1） （06 北京理 4）平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 l与 AB 垂直，且交 于点 C，则动点 C 的轨迹是（ ）A一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支（2） （04 天津文 8）如图，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 ,P C 是 内异于 A 和 B的动点，且 .P那么，动点在平面 内的轨迹是（ ）A一条线段，但要去掉两个点 B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆
8、，但要去掉两个点 D半圆，但要去掉两个点（3）正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 是 BC 的中点，点 P 是平面 ABCD 内的一个动点，且满足 PM=2，P 到直线 A1D1 的距离为 5，则点 P 的轨迹是 A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析：（1）设 l与 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 B垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 与 垂直所有直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面 的交线上，故选 A。（2）答案为 B。学通教育网: 中小学数理化专业培训机构（3）解析： 点 P 到 A1D
9、1 的距离为 5，则点 P 到 AD 的距离为 1，满足此条件的 P 的轨迹是到直线 AD的距离为 1 的两条平行直线，又 2M， 满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心，半径为 2 的圆，这两种轨迹只有两个交点.故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例 2 （06 江苏 9）两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1 个B2 个 C3 个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几
10、何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积，问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种，所以选 D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。题型 2：空间几何体的定义例 3 （06 江西文 9）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是（B）等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角
11、都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故 A，C 正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故 D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选 B点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。例 4 （2002 北京理，10）设命题甲：“直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，平面 ACB1 与对角面 BB1D1D 垂直” ；命题乙：“直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件
12、B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一定成立。答案为 C。点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。题型 3：空间几何体中的想象能力例 5 （2002 上海春，10）图 912 表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、 CD、EF 和 GH 在原正方体中相互异面的有 对 .学通教育网: 中小学数理化专业培训机构解析：相互异面的线段有 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH3 对.点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空
13、间想象能力。例 6 （2003 京春文 11，理 8）如图 91，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I， J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点.将ABC 沿DE，EF，DF 折成三棱锥以后， GH 与 IJ 所成角的度数为（ ）A90 B60C45 D 0答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图 943 所示.HG 与 IJ 为一对异面直线.过点 D分别作 HG 与 IJ 的平行线，即 DF 与 AD.所以ADF 即为所求.因此，HG 与 IJ 所成角为 60。点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图
14、形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。题型 4：斜二测画法例 7画正五棱柱的直观图，使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于 Z 轴方向平移即可得。作法：（1）画轴：画 X，Y，Z轴，使XOY =45（或 135） ，XO Z=90。（2）画底面：按 X轴，Y轴画正五边形的直观图 ABCDE。（3）画侧棱：过 A、B、C、 D、E 各点分别作 Z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA，BB， CC，DD ，EE。（4）成图：顺次连结 A， B，C，D，F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例 8 B是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 CBA的面积为 3，那么ABC 的面积为_。解析： 62。点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。图 91学通教育网: 中小学数理化专业培训机构题型 5：平行投影与中心投影例 9 （1）如图，在正四面体 ABCD 中，E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心，则EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（ ）A
