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1、直击高考思想方法系列之立体几何问题的模型化处理中学立体几何的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究。高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明。通常利用 “构造模型法”突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力。常见的模型有正方体模型、长方体模型、 “三节棍”模型等。一、构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等） ，要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加以解决。例 1 对于直线 m、n 和平面，下面问题中的
2、真命题是（ ）A.如果 m、n 是异面直线，那么 n,aB.如果 m、n 是异面直线，那么 n 与 a 相交C.如果 na ，m、n 共面，那么 mn,D.如果 ma,na ，m、n 共面，那么 mn分析：构造正方体，如图 1.对于选项 A，设 a 为平面 ABCD，m 为 AB，n 为 C1C，则 na，故 A 错。对于选项 B，设 a 为平面 ABCD，m 为 AB，n 为 A1D1，则 na，故答案 B 错。对于选项 D,设 a 为平面 AC， m 为 A1B1，n 为 B1C1，此时 m 与 n 相交于 B1，故答案 D 错。正确答案为 C，事实上，设 a 为平面 ABCD，m 为 A
3、B，n 为 A1B1，ABA 1B1， mn.例 2 由空间上一点 O 出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角。解：先构造一个正方体，如图 2，正方体的中心 O 到四个顶点 A、B 、C、D 连线所夹的角相等，则AOD 就是所求的角。设正方体的棱长为 a，则 ,aDA3,12cos,22OAD则所求角为 .31ar评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中。因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“ 正方体” 模型解决。正四面体的体积是它外接 “正方体” 体积的 .即31，并可由这个模型推导出正四面体的体积 (a 为四面体的棱长） 。体V31 312aV例 3 已知平
4、面及以下三个几何体， （1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥；（3）正四面体。问这三个几何体在平面上的射影可以为正方形吗？请加以说明。分析：对于（1） ，只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起至一定高度可使其在底面（即水平面）上的射影可变为正方形。对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断。对于（2） ，如图 3，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，分别在 BB1、DD 1 上取 E、F，使得，则四棱锥 A1AEC 1F 符合条件。F体BE13对于（3） ，把正四面体 A1 BC1D 放在正方体 ABCDA 1B1C1D1，如图4，即可得其
5、在底面 a 上射影为正方形。评注：对于（2） 、 （3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得到一个正方形。例 4 已知 PA平面 ABC， ACB=90,PA=AC=BC,求 AB 与 PC 所成的角。解：构建一个正方体，如图 5，PC 与 AB 两异面直线所成的角为 DB 与AB 所成的角，而ABD 是等边三角形，PC 与 AB 成 60角。评注：此题为巧建“正方体” 模型快速求解两异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交。二、构造长方体模型解题在某些类似的问题，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型。例 5 過球 O 的球面上
6、一點 P 作球的兩兩垂直的三條弦 PA、PB 、PC，且 PA= ，PB=3，PC= ，求球 O 的半径。1分析：构造长方体，以 P 为顶点的三条棱 PA、PB、PC 两两垂直，球 O 就是这个长方体的外接球，对角线 PD 就是球 O 的直径，设半径等于 R，则有 ，2322PCBA.23R评注：从同一点出发的三条棱两两相互垂直，其长度分别为 a、b、c，就可以构造长方体模型，外接圆的直径就是对角线的长，所以 .22aR例 6 已知四面体的四个面都是边长分别是 5、6、7 的全等三角形，求这个四面体的体积。分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.通过分析已知条件，构造长方体 ABCDA 1B1
7、C1D1，如图 6，其中四面体 D1AB1C 符合条件。令 AC=5，B 1C=6，AB 1=7，由勾股定理得 AB2=19,BC2=6,AA12=30. .9523061931体V评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的 .1例 5 是全日制普通高中教科书数学第二册（下 A）第 73 页例 2 的改编题，该题是 2003年全国高考理科第 12 题和 2005 年辽宁省高考题理科 17 题中第 3 小题的原形题。三、构造“三节棍” 模型解题全日制普通高中教科书（实验修订本必修） 第二同（下 B）第 80 页复习参考题九第 2 题给出
8、了三条棱 AB、BC、CD 两两互相垂直的四面体ABCD（图 7） ，这是一个很有用的几何模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质：（1）CD 平面 ABC，AB平面 BCD；（2）相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE面 ACD， CF面 ABC） ，此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我们把它称为“三节棍” 模型。利用此模型，可解决棱柱或棱锥中的线线、线面的垂直问题，应用十分广泛。例 7 如图 8，在三棱锥 A BCD 中，AB、BC、CD 两两垂直。（1）由该棱锥所有相邻的两价目面组成的二面角中，哪些是直二面角？（2）若 AD 与平
9、面 BCD 成 45，AD 与平面 ABC 所成角 30，求二面角BAD C 的余弦值。分析：（1）可由找三棱锥各个方面的垂线入手，AB、BC、CD 两两垂直成“三节棍”模型，AB面 BCD,AB 平面 ABD,面 ABD面 BCD，且面 ABC面 BCD。同理，ABDC，ABC D，D AC B 等都是直二面角。（2）由 AB平面 BCD，可得ADB，即为 AD 与平面 BCD 所成的角，ADB=45.同理，DAC=30, 作 BEAC,垂足为 E，作 BFAD 垂足为 F，连结 EF，可得 BE平面ACD。BFAD EFAD,BFE 是二面角 BADC 的平面角。EF=AFtan30= A
10、F,BF=AFtan(9045)=AF,3 ,即二面角 BADC 的余弦值为 .cosBFE3例 8 如图 9，在四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点。 （1）求直线 AC 与3PB 所成角的余弦值；（2）在侧画 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离。分析：（1）略。（2）PAAD,ADDC,即 PA、AD、DC 两两垂直。PA、AD 、DC 构成了一个三节棍模型。过 D 作 AC 的垂线 DF 交 AB 于 F，由性质（2）DF面 PAC，且知ADF= ,连结 P
11、F，则6N 为 PF 的中点即为所求的点。ENDF,而 DF面 PAC，EN面 PAC。此时，N 到 AB 的距离为 .6321A评注：这是 2005 年湖北省高考理科第 20 题，第（2）问中，要在平面 PAB 内找一点 N，使 EN 垂直平面 PAC，具有一定的难度，它主要考查非正常位置下的三垂线定理的应用，这是立体几何的重点和难点。因此，这个模型的应用具有一般性。再看下面例子：例 9 （2005 年，福建，理 20）如图 10，在直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长 2 为的正方形，AE=EB ，F 为 CE 上的点，且 BF平面 BCE；（1）求证：AE平面 BCE；（2）
12、求二面角 BACE 的大小；（3）求点 D 到平面 ACE 的距离。分析：（1）易证 AE平面 BCE。在（2）中，DA AE,AEEB，即 DA、AE、EB 两两垂直，构成了三节棍模型。所以取 AB 的中点 M，则 EMAB。EM面 ABC，过 M 作 MNAC，垂足为 N，连结EN，则 ENM 为所求二面角 BACE 的平面角，在 RtEMN 中，易算得 .36sinEM（3）略。评述：该题当然还有其他解法，但题目中存在有这样的一个三节棍型，为顺利作出二面角BACE 的平面角找到了突破口。例 10 （2005 年全国卷 I 第 18 题改编）如图 11，已知四边形为直角梯形，ADCD，BA
13、D=90,PA平面 ABCD,CD=2,PA=AB=AB=1,E 为 PC 的中点。（1）求证：EB平面 PAD；（2）求直线 BD 与平面 PCD 所成的角；（3）求二面角 APCD 的大小。分析：（1）取 PD 中点 F，连结 AF、EF ，EF DC， EF AB.21四边形 ABEF 是平行四边形，故 BEAF，而 AF 面 PAD，BE面 PAD。（2）图 11 中，PA、AD、DC 构成了三节棍模型。PA=AD,F 为 PD 的中点，AF PD.由性质（2）知 AF面 PCD，BE面 PCD，故 BDE 为所求的角。经计算 ,直线 BD 与平面 PCD 成 30角。23cosBDE
14、（3）过 F 作 PC 的垂线 FG，垂足为 G。 FGA 为二面角 APC D 的平面角。RtPFGRtPCD, ,PCF ，31PCG在 RtPFG 中， ,26tanFGA即二面角 APCD 的大小为 .rctan上面几例，是在已知图形中已有了现成的三节棍，但很多问题中，不一定都存在现成的模型，这样，在解题中要根据已知条件，设法构造出三节棍模型来，请看下面例子：例 11（2005 年，浙江，理 18）如图 12，在三棱锥 PABC 中，ABBC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC。 （1）求证：OD 平面 PAB；（2）当 k= 时，求直线 PA
15、 与平面 PBC 所成角的大1小。 （3）当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的垂心？分析：（1）略。（2）取 BC 的中点 E，连结 OE、PE，由已知条件 PO、 OE、EC 两两互相垂直，由此可得一个三节棍模型。ODPA，可转化为 OD 与平面 PEC 所成的角的大小，作 OFPE，垂足为 F，连结 FD，由性质（2）,则 OF面 PEC，ODF 是 OD 与平面 PEC 所成的角。在 RtODF， ,3021sinODFPA 与面 PBC 所成的角为 .arcsin（3）略。所谓三节棍模型，其本质就是利用三垂线定理（或其逆定理）解题，而三垂经定理（或其逆定理）在立体几何中的应用十分广泛，特别是非正常位置下的三垂线定理（或其逆定理）的应用又是高考命题的一个热点，因此，该模型具有很好的实用性。笔者初步统计，在 2005 年全各省市高考试题中的立体几何大题，能用这个模型解决的题目不下 10 道题，真可谓一棍打遍天下！构造模型法解立体几何问题，不但提升了学生的思维起点，培养了学生的空间想象能力，而且还能让学生发现数学美，体验数学美，提高学生学习数学的兴趣。
