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1、空载长线容升效应(电容效应)从数学上理解了空载长线容升效应一、容升效应的向量图理解在图 1 中，负载端是一个电阻iu su ru R图 1则根据欧姆定律，有 RrsUU且有 SrSRU因为这是电阻，简单分压，负载上的电压肯定低于电源端电压。但负载端为电容，结果就不一样了在图 2 中，如果负载端是一个电容，且传输通道中有电感，则可能有 。scUiu s u cu lu r图 2出现 的现象，称为 集中参数电路中的“电感-电容”效应，简scU称“电容效应” 。一般考虑的是电容上的电压有效值，高于电源端电压有效值，即末端加了电容后，电容上的电压相比电源升高了，故也称“容升效应”一般电源为变压器，有较
2、小的为电感的漏抗，较小的导线电阻。当负载端为电容时，可能绘出图 3 所示的向量关系。图上看，有 长于 ，故电容上的电压高于电源电压。cUsU lUsU rI cU c图 3简单理解，是由于电感与电容上的电压方向相反。忽略电阻，本是两者的向量和等于电源电压，实际上变成了两者有效值的差等于电源电压。U lU sI cU c二、集中参数容升效应的数学理解一般电源为变压器，有较小的为电感的漏抗，较小的导线电阻。负载为电容时，结构如图 1 所示。iu s u cu lu r图 1 clrs UU)1(cjljIcs cjIUc1其中 为系统频率 cjljrcjljrIIUccsc 1)1( 如果 则近似
3、有cjlr1 lclcjcjljcjljrUsc 221)(11 令 表示 LC 的谐振频率，上式即为lclc1 22)(11lcsclcU从上式可以看出，并不是只要是电容串电感，电容电压都高于电源电压。产生容升效应是要求参数（电感与电容的值）满足一定的条件的。必须有 ,才有 ，即电容上电压高于电源电压。1)(12lc1scU试品的杂散电容，或者 CVT 的电容，是 pF 级的，由于 LC 一般比较小，所以会大于 。lc当 变小（LC 变大） ，趋近于 的过程中， 都会大于 1，即电容上lc scU的电压会大于系统电压。特别是当 接近 时，即 LC 发生工频谐振时，分母lc会接近于 0，电压比
4、会无穷大。对于一给定的 RLC 串联电路，若其参数 cjljr1且 （相当于 ，且容抗感抗） ，当有正弦交流电流流ljcj112lc过时，由于电感与电容上的压降 UL、U C反向，且其有效值 UCUL，于是电容上的压降大于电源的电动势。这就是集中参数电路中的“电感-电容”效应，简称“电容效应”例：某线路 100 公里，使用集中参数 L=0.89e-3H*100 C=16.1e-9F*100 则159.34502f 26.7.689.10193elclc .04)264.75()(2lcscU三、空载长线容升效应当输电线路长度达到 300km 以上时， U1 为电源电压， U2 为受端电压，如果
5、 I2=0，即线路空载，有 U2 U1，即末端电压会升高。u 2i 2u 1i 1lu 2i 2u 1i 112 3 40iu s u cu lu r12最初理解为每个节点都比前一个节点的电压要高，同分布参数的理解，如 2 高于 1，所以，空载长线分成很多小段后，依旧有：1 高于 0，2 高于 1，3 高于 2，于是末端高于首端，即空载长线的末端电压升高。实际上不严谨，因为分布参数要求电容后边再没有电流。即电容后边要空载。根据长线的基本方程，有如下的稳态解： 221 2211 )sin()cos( )cos()si(incoIljZUlUIUlljjZI cc其中 ， 为线路的单位长度的电感、
6、电容， 为线路长度。0CL0, l当线路末端开路时（即空载） ，I 2=0，据上式有 )cos()cos(0112 lCLUlUU 已知 L0=0.89mH/km，C 0=16.1nF/km 39318.1689.1EE可以看出 是比较小的，为 0.001189，100 公里时为 0.1189（弧度） =0.9930 )cos(l当 从 0 往 300 公里以上走时， 由 0 往 变动，l lCL02，cos 值是由 1 往 0 变的，它作为分母，往 0 变，源端电压0)2cos(,1)0s(U1 一定时，负载端电压 U2 是越来越大，甚至可以上升到无穷大。线路参数 L0=0.89mH/km，
7、C0=16.1nF/km。当 l=400km 时 U2 为 U1 的 1.125 倍，当l=550km 时 U2 为 U1 的 1.25 倍；线路约为 1000km 时，U2 估为 2.5 倍 U1。线路电感电容变大时，同等距离倍值会升高。L0=1mH/km，C0=20nF/km 时，线路约为 1000km 时，U2 估为 5 倍 U1。理解为：同样距离情况下，多分裂导线（对地电容大）比单导线（对地电容相对小）电压升高会更快，容升效应更明显。上述空载长线末端电压高于首端电压的现象称为电容效应（或法拉第效应） ，是由长线线路电容电流流经电感所引起的。法拉第效应引起的工频电压升高（称为工频过电压）
8、会对线路绝缘造成伤害，应采取措施加以限制。工频过电压一般不应超过最高运行相电压的 1.3 倍（线路断路器的变电所侧）或 1.4 倍（线路断路器的线路侧） 。采用超高压并联电抗器对线路电容进行补偿是限制长线工频过电压的主要手段。四、空载长线容升效应的数学理解我们想要分析的是，一条长的线路，在空载的情况下（末端没有负载，或者负载被断开），为何末端电压会比首端（电源端）的电压会高。一条长度为 l km 的单导体长线如图 1 所示，u 1 为电源端电压，u 2 为负载端电压如果 i2 =0， 则会有 u2u 1.。其危害是什么，简单来说是末端电压变高，实际上沿线电压都会有一定的升高。夸张的举个低压的例
9、子，通过 300 公里的架空线给您送一个 220V 的电压，源端接的是标准的 220V，您在末端用电压表测试，可能会是 300V，您的插座可能会漏电，小电器可能烧毁，因为它是按 220V 标准设计的。u 2i 2u 1i 1l图 1产生的原因是什么，主要是因为线路本身导线有电感，导线对地有电容。为考虑末端电压与首端电压的关系。建立图 2 所示的线路模型u 2i 2u 1i 1lxd xu图 2当输电线路长度达到 300km 以上时，由于 50Hz 工频交流电的 1/4 波长为1500km，对线路进行分析计算时，考虑其电器参数的分布特性。建立图 3 所示的线路分布参数模型xd xu 2i 2u
10、1i 1l图 3设线路的单位长度电阻、电感、电容、电导分别为 00,GCLR。分布参数模型如图 4xd xuu + d uii + d iG 0 d x C 0 d xR 0 d x L 0 d xu 2i 2u 1i 1l图 4取其中一个微单元，如图 5uu + d uii + d iG 0 d x C 0 d xR 0 d x L 0 d x图 5根据基尔霍夫电压定律，有（1）utidxLiRdu00同理，由基尔霍夫电流定律得（2）idutdxCudxGi )()(00对式（1） 、式（2）进行整理，并忽略高阶微分项（且忽略电导） ，可得如下的微分方程组（3 ）tuCGxitiLiRu00
11、0对于电压、电流均为正弦波的稳态情况，式（3）可以改写为（4） UCjGdxIILRUd)(0000将方程组（4）中的第二式代入第一式，可得出关于电压向量的二阶微分方程（5 UCjGLjRdxU )( 00002 ）由方程组（4）中的第一式得电流表达式为（6）dxULjRI )(100令 )(0000 CjG )(00CjLRZ则式（5）和式（6）可表示为（7） dxUZIxU122式中， 为线路的传播系数，Z 为线路的波阻抗。传播系数和波阻抗是反映长线电器性能的特征量，与线路参数和运行频率有关，与线路电压、电流大小无关。方程（7）的解为（注 2）（8 )()(1 xNchxMshZI scU
12、xx ）式中： 、 为 x 处的电压电流向量；M、N 为待定系数xU根据图 1 所示的边界条件：x=0 时， ，可求出22,IUxx22,IZM于是式（8）可以写成如下的矩阵形式（9）2IUACBIxx式中： ， ， ， )(chAx)(ZshBx)(Zshx（第 4 式可以不要，只说明有此关系） 。12xCB若已知线路端口 2 的电压和电流，则通过式(9)可解出距端口 2 任意点 x 处的电压与电流的大小与相位。显然，将 lx代入式(9)，即可得出线路两端的电压、电流关系为（10）21IUACBIU式中： ， ，)(lchA)(lZshB)(Zlsh对于一般的交流远距离输电线路，有 ， ，(
13、注 4)故可00LR0CG忽略线路的损耗，即认为 ， ，据此可把导线的传播系数和波阻0RG抗简化为 jvjCLjCjGLjR 0000 )( cZCCjGLZ 000)(式中： ，为波在无损架空导线上的传播速度，光速值0/1Lv为 , 为无损架空导线的波阻抗，约为 370410，若为分裂导线，sm038cZ则约为 270310。此时，式（9）和式(10) 可改写为（注 3）（11） 2)cos()sin(1incoIUxxZjjIUcx （12） 21 IlZlIcc结论当线路末端开路时，I 2=0，据式（12）有 )cos()s(0112 lCLUlU,0co由 0 往 变动时，cos 值是
14、由 1 往 0 变的，它作为分母，往 0 变，U1 一定时，lCL2U2 越来越大，甚至可以上升到无穷大。空载情况下，当线路参数一定时，线路越长（不绝对，有可能，1000 公里以内一般正确，再往后可能电压反向了） ，末端电压会越来越高已知 L0=0.89mH/km，C 0=16.1nF/km 39318.1689.1 EE用 matlab 计算与绘图显示clc;clear;L=0.89e-3;C=16.1e-9;a=100*pi*sqrt(L*C);l=0:1:1500;k=cos(a*l);plot (l,k)线路参数 L0=0.89mH/km，C0=16.1nF/km，当线路约为 1320
15、km 时，U2 无穷大。当l=400km 时 U2 为 U1 的 1.125 倍当线路电感电容变大时，这个距离会缩短。L0=1mH/km， C0=20nF/km 时，缩短为 1120km书上的例子：有一条 400km 的 500kV 超高压长线路，已知 L0=0.89mH/km，C0=16.1nF/km，忽略线路电阻和泄漏导纳，末端开路。求（1）线路末端（2 端）与首端（1 端）相对低电压幅值大小之比；（2）线路沿线相对地电压分布。注释 1：sh （x ）与 ch（x）函数的定义双曲正弦，为过（0，0）点的奇函数2)(xesh双曲余弦，为过（0，1）点的偶函数xxc此两函数的最大特点是相互为对方的导数（有此特点适合作为微分方程的通解）， chs)( shcs)()(， 证明 cs)( )(22)(2)()2 xcheeeexh xxxxxx
