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1、立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜-立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行,而证明线线平行一般有以下的一些方法:(1) 通过“平移”。(2) 利用三角形中位线的性质。(3) 利用平行四边形的性质。(4) 利用对应线段成比例。(5) 利用面面平行的性质,等等。(第1题图)(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形,点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点求证:AF平面PCE;分析:取PC的中点G,连EG.,FG,则易证AEGF是平行四边形2、如图,已知直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB1,BC2,CD1,过A作AECD,垂足为E,
2、G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.()求证:BC面CDE; ()求证:FG面BCD;分析:取DB的中点H,连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱ABCA1B1C1中,D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点,M为BE的中点, ACBE. 求证:()C1DBC; ()C1D平面B1FM. 分析:连EA,易证C1EAD是平行四边形,于是MF/EA4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E为PC的中点, 证明: ;分析::取PD的中点F,连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质ABCDEF
3、GM5、如图,已知、分别是四面体的棱、的中点,求证:平面。分析:法一:连MD交GF于H,易证EH是AMD的中位线法二:证平面EGF平面ABC,从而平面6、如图,直三棱柱,AA=1,点M,N分别为和的中点。 证明:平面;分析:连结AC1,则MN是则A1BC1的中位线,7如图,三棱柱ABCA1B1C1中, D为AC的中点. 求证:AB1/面BDC1; 分析:连B1C交BC1于点E,易证ED是B1AC的中位线8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明: BC1/平面A1CD;分析:此题与上面的是一样的,连结AC1与A1C交F,连结DF,则DF/BC19、如图所示,
4、四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.分析:连结AC交BD于O点,连结OM,易证OMPA从而PA平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得APGH.(.3) 利用平行四边形的性质10正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心,求证: D1O/平面A1BC1;分析:连D1B1交A1C1于O1点,易证四边形OBB1O1是平行四边形PEDCBA11、在四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB=DC,.求证:AE平面PBC;分析:取PC的中点F,连EF则易证ABFE是平行四边形12、在如图所示
5、的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB=,平面,EF,.=.()若是线段的中点,求证:平面;()若=,求二面角-的大小(I)证法一:因为EF/AB,FG/BC,EG/AC,所以由于AB=2EF,因此,BC=2FC,连接AF,由于FG/BC,在中,M是线段AD的中点,则AM/BC,且因此FG/AM且FG=AM,所以四边形AFGM为平行四边形,因此GM/FA。又平面ABFE,平面ABFE,所以GM/平面ABFE。(4)利用对应线段成比例13、如图:S是平行四边形ABCD平面外一点,M、N分别 是SA、BD上的点,(1)=, 求证:MN平面SDC(2), 求证:MN平面SBC分析:法一:过M
6、作ME/AD,过N作NF/AD利用相似比易证MNFE是平行四边形法二:连接AN并且延长交CD或CD的延长线于E点,连结SE,则易证MNSE,于是MN平面SDC,同理连接AN并且延长交BC或BC的延长线于F,连结SF,则易证MNSF,于是MN平面SBCAFAEABACADAMANA14、如图正方形ABCD与ABEF交于AB,M,N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证:MN平面BEC分析:过M作MG/AB,过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形(6) 利用面面平行15、如图,三棱锥中, 为的中点,为的中点,点在上,且. 求证:平面;分析: 取AF的中点N,连CN、MN,易证平面CMN
7、/平面EFB16、如图, 在直三棱柱中,,,点是的中点,(1)求证:;(2)求证:;(3)求三棱锥的体积。分析:取A1B1的中点E,连结C1E和AE,易证C1ECD,AEDB1,则平面AC1EDB1C,于是17在长方体中, , 点是的中点,点是的中点.(1) 求证: 平面;(2) 过三点的平面把长方体截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.(1)证法1:设点为的中点,连接. 点是的中点, . 平面,平面, 平面. 2分 点是的中点, . 平面,平面, 平面. 4分 ,平面,平面, 平面平面. 平面,平面. 6分证法2: 连接并延长与的延长线交于点, 连接, 点是的中点, . , , RtRt. 2分 . 点是的中点, . 4分 平面,平面, 平面. 6分 (2) 解: 取的中点, 连接, 点是的中点, . , . 过三点的平面把长方体截成两部分几何体, 其中一部分几何体为直三棱柱, 另一部分几何体为直四棱柱. 8分 , 直三棱柱的体积, 10分 长方体的体积, 直四棱柱体积. 12分 . 所截成的两部分几何体的体积的比值为. 14分