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1、立体几何证明平行的方法及专题训练罗虎胜-立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1） 通过“平移”。（2） 利用三角形中位线的性质。（3） 利用平行四边形的性质。（4） 利用对应线段成比例。（5） 利用面面平行的性质，等等。（第1题图）(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点求证：AF平面PCE；分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，
2、G、F分别为AD、CE的中点，现将ADE沿AE折叠，使得DEEC.（）求证：BC面CDE； （）求证：FG面BCD；分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形3、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，M为BE的中点, ACBE. 求证：（）C1DBC； （）C1D平面B1FM. 分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF/EA4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, CD=2AB, E为PC的中点, 证明: ;分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质ABCDEF
3、GM5、如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，求证：平面。分析：法一：连MD交GF于H，易证EH是AMD的中位线法二：证平面EGF平面ABC，从而平面6、如图，直三棱柱，AA=1，点M，N分别为和的中点。 证明：平面;分析：连结AC1，则MN是则A1BC1的中位线，7如图，三棱柱ABCA1B1C1中， D为AC的中点. 求证：AB1/面BDC1； 分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是B1AC的中位线8、如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.证明: BC1/平面A1CD;分析：此题与上面的是一样的，连结AC1与A1C交F,连结DF，则DF/BC19、如图所示，
4、四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.分析：连结AC交BD于O点，连结OM，易证OMPA从而PA平面DBM,再根据直线与平面平行的性质得APGH.（.3） 利用平行四边形的性质10正方体ABCDA1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，求证： D1O/平面A1BC1;分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1是平行四边形PEDCBA11、在四棱锥P-ABCD中，ABCD，AB=DC，.求证：AE平面PBC；分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE是平行四边形12、在如图所示
5、的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB=，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角-的大小（I）证法一：因为EF/AB，FG/BC，EG/AC，所以由于AB=2EF，因此，BC=2FC，连接AF，由于FG/BC，在中，M是线段AD的中点，则AM/BC，且因此FG/AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM/FA。又平面ABFE，平面ABFE，所以GM/平面ABFE。(4)利用对应线段成比例13、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别 是SA、BD上的点，（1）=， 求证：MN平面SDC（2）, 求证：MN平面SBC分析：法一：过M
6、作ME/AD，过N作NF/AD利用相似比易证MNFE是平行四边形法二：连接AN并且延长交CD或CD的延长线于E点，连结SE，则易证MNSE,于是MN平面SDC，同理连接AN并且延长交BC或BC的延长线于F，连结SF，则易证MNSF,于是MN平面SBCAFAEABACADAMANA14、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN平面BEC分析：过M作MG/AB，过N作NH/AB利用相似比易证MNHG是平行四边形（6） 利用面面平行15、如图，三棱锥中， 为的中点，为的中点，点在上，且. 求证：平面；分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN
7、/平面EFB16、如图, 在直三棱柱中，,，点是的中点，（1）求证：；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积。分析:取A1B1的中点E，连结C1E和AE，易证C1ECD,AEDB1，则平面AC1EDB1C,于是17在长方体中, , 点是的中点,点是的中点.(1) 求证: 平面;(2) 过三点的平面把长方体截成 两部分几何体, 求所截成的两部分几何体的体积的比值.（1）证法1：设点为的中点，连接. 点是的中点, . 平面,平面, 平面. 2分 点是的中点, . 平面,平面, 平面. 4分 ,平面,平面, 平面平面. 平面,平面. 6分证法2: 连接并延长与的延长线交于点, 连接, 点是的中点, . , , RtRt. 2分 . 点是的中点, . 4分 平面,平面, 平面. 6分 (2) 解: 取的中点, 连接, 点是的中点, . , . 过三点的平面把长方体截成两部分几何体, 其中一部分几何体为直三棱柱, 另一部分几何体为直四棱柱. 8分 , 直三棱柱的体积, 10分 长方体的体积, 直四棱柱体积. 12分 . 所截成的两部分几何体的体积的比值为. 14分
