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1、极坐标与参数方程基本知识点一、极坐标知识点1伸缩变换:设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.3点的极坐标:设是平面内一点,极点与点的距离叫做点的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的叫做点的极角,记为。有序数对叫做点的极坐标,记为. 极坐标与表示同一个点。极点
2、的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称,即与表示同一点。如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的。5 极坐标与直角坐标的互化:(1)互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;极轴与x轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式6.曲线的极坐标方程:1直线的极坐标方程:若直线过点,且极轴到此直线的角为,则它的方程为: 几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点 (2)直线过点且垂直于极轴 (3)直线过且平行于极轴方程:(1) 或写成及 (2) (3)sin=b2圆的极坐标方程: 若圆心为,半径为r的圆方程为:
3、几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点,r为半径 (2)当圆心位于(a0),a为半径 (3)当圆心位于,a为半径方程:(1) (2) (3)7.在极坐标系中,表示以极点为起点的一条射线;表示过极点的一条直线.二、参数方程知识点1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,若曲线C上的点满足,该方程叫曲线C的参数方程,变量t是参变数,简称参数。(在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值,由这个方程所确定的点都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数。)相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫
4、做普通方程。2 曲线的参数方程(1)圆的参数方程可表示为.(2)椭圆的参数方程可表示为.(3)抛物线的参数方程可表示为.(4)经过点,倾斜角为的直线的参数方程可表示为(为参数).3在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.规律方法指导:1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消参方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等式消参法;混合消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。