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1、合肥一六八中学高三测试 数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。第卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1在复平面内，复数所对应的点为，是虚数单位，则（ ）A B C D 2已知全集，则有（ ）A B C D3 “”是“函数为偶函数”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要403
2、0不需要160270由算得附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”； 有以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”；采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好；采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好A B C D5阅读右图所示的程序框图，若，则输出的的值等于（ ）A28 B36 C45 D1206已知直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆的两个交点为，当最小时，的值为（ ）A B C D7已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体
3、积为（ ）A B C D8已知数列的各项均为正数，若数列的前项和为5，则（ ）A B C D9已知不等式组表示的平面区域为，若内存在一点,使，则的取值范围为（ ）A B C D10已知，若不等式对一切恒成立，则的最大值为（ ）A B C D第卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）11已知，与的夹角为，则 12将曲线向右平移个单位后得到曲线，若与关于轴对称，则的最小值为_.13分别在区间、上任意选取一个实数，则随机事件“”的概率为_.14已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点若线段的中点的纵坐标为2，则直线的方程为_.15已知是定义在
4、上函数，是的导数，给出结论如下：若，且，则不等式的解集为； 若，则；若，则；若，且，则函数有极小值；若，且，则函数在上递增其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，（）求的值； （）若，求的面积17（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号（）求第一次或第二次取到3号球的概率；（）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望
5、18（本小题满分12分）已知函数.（）讨论的单调性；（）证明：当时，有唯一的零点，且19（本小题满分13分）在四棱锥中，底面是直角梯形，（）在棱上确定一点，使得平面；（）若，求直线与平面所成角的大小20（本小题满分13分）椭圆:的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于点，点在轴的上方当时，（）求椭圆的方程；（）若点是椭圆上位于轴上方的一点， ，且，求直线的方程21（本小题满分13分）设，数列满足：，（）若为方程的两个不相等的实根，证明：数列为等比数列；（）证明：存在实数，使得对，合肥一六八中学高三测试 数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四
6、个选项中，只有一项是符合题目要求的）1D 解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，选D2A 解析：本题考查集合的关系与运算，选A3B 解析：本题考查充分、必要条件的判定与函数的奇偶性的判定当时，为偶函数，当时，不是偶函数；当为偶函数时，由可求得，“”是“函数为偶函数”的必要不充分条件，选B4D 解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法由于，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层
7、并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，正确，选D5C 解析：本题考查程序框图中的循环结构，当时，选C6A 解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系在直角坐标系中，圆的方程为，直线的普通方程为，直线过定点，点在圆的内部当最小时，直线直线，直线的斜率为，选A7 B 解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算如图该三棱锥是边长为的正方体中的一个四面体,其中，该三棱锥的体积为，选B8C 解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和由得，是等差数列，公差为，首项为，由得，数列的前项和为，选C9A 解析：本题考查线性规划中最值的求法平面区域如图所示，先求的
8、最小值，当时，在点取得最小值；当时，在点取得最小值若内存在一点,使，则有的最小值小于，或，选A10C 解析： 当(如图1)、(如图2)时，不等式不可能恒成立；当时，如图3，直线与函数图象相切时，切点横坐标为，函数图象经过点时，观察图象可得，选C图1图2图3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在横线上）11解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用与的夹角为，12解析： 曲线的解析式为，由与关于轴对称知，即对一切恒成立，由得的最小值为6. 13解析： 由得，如图所有实数对表示的区域的面积为，满足条件“”的实数对表示的区域为图中阴影部分，其面积为，随机事件“”的概率为14解析
9、： 设，那么，线段的中点坐标为.由，两式相减得，而，直线的方程为，即.15解析：构造函数，在上递增， ，错误；构造函数，在上递增，正确；构造函数，当时，错误；由得，即，函数在上递增，在上递减，函数的极小值为，正确；由得，设，则，当时，当时，当时，即，正确三、解答题（本大共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16（本小题满分12分）解： （）由及正弦定理得， （3分），（6分）（）， （8分）， （10分）的面积为（12分）17（本小题满分12分）解：（）事件“第一次或第二次取到3号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到3号球”，所求概率为（6分）（） ，（9分）故的
10、分布列为：012P （10分） （12分）18（本小题满分12分）解：（）， （1分）当时，解得或，解得， 的递增区间为和，的递减区间为 （4分）当时，的递增区间为，递减区间为 （5分）当时，解得，解得或的递增区间为，的递减区间为和 （7分） （）当时，由（）知上递减，在上递增，在上递减，在没有零点 （9分），在上递减，在上，存在唯一的，使得且综上所述，当时，有唯一的零点，且 （12分）19（本小题满分13分）解： （）当时，平面.（1分）设为上一点，且，连结、，那么,（3分），又平面， 平面，平面 （5分）（）设、分别为、的中点，连结、，易知，平面，又，平面 （8分）建立空间直角坐标系（如图
11、），其中轴，轴，则有,由知 （9分）设平面的法向量为，,则 即，取.（11分）设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角为. （13分）20（本小题满分13分）解：（）由直线经过点得，当时，直线与轴垂直，由解得，椭圆的方程为 （4分）（）设，由知（7分）联立方程，消去得，解得，同样可求得， （11分）由得，解得，直线的方程为 （13分）21（本小题满分13分）解：证明：， （3分），数列为等比数列 （4分）（）证明：设，则由及得，在上递减，（8分）下面用数学归纳法证明：当时，当时，命题成立 （9分）假设当时命题成立，即，那么由在上递减得由得，当时命题也成立， （12分）由知，对一切命题成立，即存在实数，使得对，（13分）
