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1、习 题 一3.已知函数在处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。 解：（1） 采用Lagrange插值多项式其误差为（2）采用Newton插值多项式 根据题意作差商表：一阶差商二阶差商04216.252.52934. 设，试列出关于互异节点的插值多项式。 注意到：若个节点互异，则对任意次数的多项式，它关于节点满足条件的插值多项式就是它本身。可见，当时幂函数关于个节点的插值多项式就是它本身，故依公式有特别地，当时，有 而当时有 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的插值多项式和插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。 012419233解：（1） Lagrange 插值多项式
2、 =（2） Newton 插值多项式一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-10由求解结果可知：说明插值问题的解存在且唯一。7. 设，试利用余项定理给出以为节点的插值多项式。解：由Lagrange余项定理 可知：当时，8.设且，求证 证明：以为节点进行线性插值，得 由于,故。于是由 有， 令 13设节点与点互异，试对证明 并给出的插值多项式。 解 依差商的定义 ，一般地，设则 故的插值多项式为16 . 求作满足条件的插值多项式 。 解法1：根据三次Hermite插值多项式：并依条件，得解法2：由于，故可直接由书中（3.9）式，得18 求作满足条件的插值多项式，并估计其误差。
3、 解法1：由已知条件0121293用基函数方法构造。令其中，均为三次多项式，且满足条件依条件可设，由 可得：同理，误差为：解法2：用承袭性构造由条件先构造一个二次多项式作差商表：一阶差商二阶差商001112122973于是有：令所求插值多项式利用剩下的一个插值条件，得 由此解出 故有19 求作满足条件的插值多项式。并给出插值余项。 解：令 利用插值条件定出 ： 注意到这里是三重零点，是单零点，故插值余项为 20 求作次数的多项式，使满足条件并列出插值余项。 解法1：由于在处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在处有直到二阶导数值的插值条件所以是“三重节点”。因此利用重节点的差商
4、公式： 可以作出差商表 一阶二阶三阶四阶001111100021101039206115根据Newton插值多项式，有 且插值余项为 第二章答案1. 计算下列函数关于的：注：， 解：（1） （2） 3.是区间上带权的最高次项系数为1的正交多项式族，其中，求。 解法一：解法二：设，则由4.求，使积分取得最小值。解：题意即为在中求的最佳平方逼近多项式，故满足法方程或者按下述方法：因为上式分别对求偏导，并令其为零，有从而也有 ，5.对，定义 问它们是否构成内积？（1）推出,即为常数，但不一定为0，故（1）不构成内积。（2）显然内积公理的1），2），3）均满足，考察第四条 若，则必有反之，若，则且，由
5、此可推得, 即内积公理第四条满足，故（2）构成内积。8.判断函数在上两两正交，并求一个三次多项式，使其在上与上述函数两两正交。解：（1）， ， 所以，在上两两正交。（2）设所求多项式为 2. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并估计平方误差。 192531384419.032.349.073.397.8解：将=19,25,31,38,44分别代入，得 所以误差12.求函数在给定区间上对于的最佳平方逼近多项式： 解：设（1）(2) 。 13.上求关于的最佳平方逼近多项式。解：Legendre是-1，1上的正交多项式取，=16.求上的二次最佳平方逼近多项式，并估计平方误差。解
6、：设 第三章习题答案1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解：1）用梯形公式有：事实上，2）Simpson公式事实上，3）由Cotes公式有：事实上，3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.(1) 解：（1）用复化梯形公式有：，由复化Simpson公式有：5给定积分。（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？（3） 如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？ 解：(1) =,当误差时，25.6, 所以取=
7、26。（2）7推导下列三种矩形求积公式： 证明：将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 10判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解：插值型求积公式 其中 则 因此，是插值型的求积公式。因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。 对于时， 可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。11构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 ， 于是有求积公式 容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是
8、1。解（2）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 于是有求积公式 容易验证当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。解(3)：令原式对于准确成立，于是有 解得: 于是有求积公式 容易验证，当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 利用的第1式，可将第2式化为 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 由式消去得进一步整理由此解出解得：因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：解（2）：令原式对于准确成立，于是有 利用的第1式，可将第2式
9、化为 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 由式消去得 进一步整理 由此解出解得：因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：13分别用三点和四点GaussChebyshev求积公式计算积分，并估计误差。解：用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：此时，由公式可得：由余项可估计误差为用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：此时，由余项可估计误差为14用三点求积公式计算积分，并估计误差。解：作变换则得由三点Gauss-Legendre公式：其估计误差为：,（）。其准确值其准确误差等于：第四章 习题答案 2。用Gauss列主元素消去法解方程组解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素得到方程组6。用Doolittle分解法解方程组 解：A=其中L= U=由Ly= 解得y=由Ux=y ， 解得x=7。用Crout分解法接方程组。解：由Ly=b= 得y=由Ux=y= 得x=11。已知，求。解： ，13。求证：证明：（1） ， ， 所以，所以（2）14。设计算A的条件数解： 矩阵A的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则 第五章习题答案2.设方程组 考察用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解次方程组的收敛性； 用Jac
