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1、三重积分的轮换对称性:,1.(两字母轮换) 如果将x,y换为y,x积分域不变,则,2.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变,则,3.(三字母轮换) 如果将x,y,z换为y,z,x积分域不变;当被积函数f(x,y,z)中x,y,z依次轮换，函数的形式不变;而f=f1+f2+f3 ,且x,y,z依次轮换时，f1，f2，f3依次轮换，则,其中为球面x2+y2+z2=1所围成的区域.,例,例 计算三重积分,其中：0 x 1，0y1，0z1,解,错解,解,正确做法,分析 积分区域和被积函数都具有轮换对称性,?,三重积分习题课,重点：1.计算； 2.应用,上边界曲面（上顶）,下边界曲面
2、（下底）,xOy 坐标面上的投影区域,一、利用直角坐标系计算三重积分,“先一后二”,（一）先投影，再确定上、下面,c1,c2,.,“先二后一”,（二）截面法,c1, c2: 向 z 轴的投影区间,Dz : 过 zc1, c2且垂于z轴 的平面截 得到的截面,M(x, y, z) M(r, z),z,r,P(x, y, 0),x,y,z,柱面坐标 M(x, y, z) ,M(r, , z),z = z,.,.,二、利用柱面坐标计算三重积分,dr,r,rd,d,z,底面积 ：r drd,元素区域由六个坐标面围成：,半平面 及+d ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz；,d
3、z,dV =,.,柱面坐标下的体积元素,.,dV,M(x, y, z) M(r, , ),r,P,y,x,z,.,.,.,球面坐标,三、利用球面坐标计算三重积分,r,dr,d,x,z,y,0,d,rd,元素区域由六个坐标面围成：,rsind,球面坐标下的体积元素,.,半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d,r 2 sin,drdd,dV,dV =,(一)平面区域的面积,设有平面区域D,(二)体积,设曲面方程为,则D上的曲顶柱体体积为:,则其面积为:,占有空间有界域的立体的体积为:,重积分在几何上的应用,曲面S的面积元素,曲面S的面积公式,(三)曲面的面积,(1) 平面薄片
4、的质心,三、重积分在物理上的应用,(一)质(重)心,(2) 空间物体的重心,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,重心,(1) 平面薄片的转动惯量,(二) 转动惯量,(2)空间物体的转动惯量,则转动惯量为,设物体占有空间域 ,有连续密度函数,设物体占有空间区域V, 体密度为,区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力.,(三) 引力,于是引力F在三个坐标方向上的分量为,其中G为万有引力系数，,例1,解,利用球面坐标,例题,（画图）,1,化为球系下的方程,r=2 cos,.,M,.,r,画图,1,1,Dxy,Dxy:,x = 0, y = 0, x+2y =1 围成,1,.,.,.,例2：,x + 2y + z =1,Dxy,I =,1,1,Dyz,.,.,.,例3：,x + y + z =1,I =,解,直接积分困难，考虑改变积分次序,例4,解,例5,解,例6,解,Dxy,解,例7,法1,先二后一,法2,解,例8,计算,其中,是由抛物面,和球面,所围成的空间闭区域.,a,例9,D,S =,D :,.,.,.,例10,.,.,.,例10,解,S =,球面坐标,a,.,.,.,用哪种坐标？,r = a,.,例11,例12 计算极限,其中,具有连续导数, 且,解:,测 验 题,
