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1、（浙江专版）2019版高考数学一轮复习第十三章直接证明与间接证明学案第十三章直接证明与间接证明考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法.2.了解间接证明的一种基本方法:反证法.了解20(1),6分19(2),4分20(1),7分21(2),8分17(1),7分18(1),7分20,15分20,15分20(文),15分22(2),(3),约10分2.数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.了解22(1),约5分分析解读1.直接证明与间接证明、数学归纳法是高考
2、的考查内容,综合法是“由因导果”,而分析法则是“执果索因”,它们是截然相反的两种证明方法.分析法便于我们去寻找思路,而综合法便于过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,综合运用,效果会更好.2.数学归纳法常与数列、不等式等知识综合在一起,往往综合性比较强,对学生的思维要求比较高.3.综合法与分析法因其在解决问题中的巨大作用而得到命题者的青睐,预计2019年高考试题中,直接证明、间接证明与导数综合出题的可能性较大.五年高考考点一直接证明与间接证明 1.(2017课标全国理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲
3、看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D2.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B3.(2
4、017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;该小组人数的最小值为.答案6124.(2017北京理,20,13分)设an和bn是两个等差数列,记cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数.(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列;(2)证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,
5、cnnM;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.解析本题考查等差数列,不等式,合情推理等知识,考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=-2.当n3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-nnd1时,b1-a1n,当d2nd1时.当d10时,取正整数md2d1,则当nm时,nd1d2,因此cn=b1-a1n.此时,cm,cm+1
6、,cm+2,是等差数列.当d1=0时,对任意n1,cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1).此时,c1,c2,c3,cn,是等差数列.当d1d2d1时,有nd1maxM+|b1-d2|+a1-d1-d2-d1,d2d1,故当nm时,cnnM.5.(2016江苏,20,16分)记U=1,2,100.对数列an(nN*)和U的子集T,若T=,定义ST=0;若T=t1,t2,tk,定义ST=at1+at2+atk.例如:T=1,3,66时,ST=a1+a3+a66.现设an(nN*)是公比为3的等比数列,且当T=2,4时,ST=30.(1)求数列a
7、n的通项公式;(2)对任意正整数k(1k100),若T1,2,k,求证:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三种情况证明.若D是C的子集,则SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,则SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC,则E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,进而由SCSD得SESF.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k1,l1,kl.由(2)知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以
8、l-118(n=1,2,).记集合M=an|nN*.(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最大值.解析(1)6,12,24.(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.由an+1=2an,an18,2an-36,an18可归纳证明对任意nk,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,a1都是3的倍数.从而对任意n1,an是3的倍数,
9、因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a136,an=2an-1,an-118,2an-1-36,an-118可归纳证明an36(n=2,3,).因为a1是正整数,a2=2a1,a118,2a1-36,a118,所以a2是2的倍数,从而当n3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数,因此当n3时,an12,24,36,这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数,因此当n3时,an4,8,16,20,28,32,这时M的元素个数不超过8.当a1
10、=1时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.7.(2014江苏,23,10分)已知函数f0(x)=sinxx(x0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,nN*.(1)求2f12+2f22的值;(2)证明:对任意的nN*,等式nfn-14+4fn4=22都成立.解析(1)由已知,得f1(x)=f 0(x)=sinxx=cosxx-sinxx2,于是f2(x)=f 1(x)=cosxx-sinxx2=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3,所以f12=-42, f22=-2+163.故2f12+2f22=-1.(2)证明:由已知,得
11、xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf 0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sinx+2,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sinx+32,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+n2对所有的nN*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+k2.因为kfk-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x
12、)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),sinx+k2=cosx+k2x+k2=sinx+(k+1)2,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sinx+(k+1)2.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i)(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+n2对所有的nN*都成立.令x=4,可得nfn-14+4fn4=sin4+n2(nN*).所以nfn-14+4fn4=22(nN*).教师用书专用(8)8.(2013江苏,19,16分)设an是首项为a,公差为d的等差数列(d0),Sn是其前n项的和.记bn=nSnn2+c,nN*,其中c为实数.(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明:Snk=n2Sk(k,nN*);(2)若bn是等差数列,证明:c=0.证明由题意得,Sn=na+n(n-1)2d.(1)由c=0,得bn=Snn=a+n-12d.又因为b1,
