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1、圆锥曲线的第三定义及运用一、 椭圆和双曲线的第三定义1. 椭圆在椭圆中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若存在，则有：证明：构造PAB的PA边所对的中位线MO，由点差法结论：知此结论成立。2. 双曲线在双曲线中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若存在，则有：证明：只需将椭圆中的全部换成就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。二、 与角度有关的问题例题一：已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲线的一个交点，令 ，则 .解答：令，由椭圆第三定义可知： 点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联
2、想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点。变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且，求 .解答：令，则，由双曲线的第三定义知：则：点评：与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sin=cos，cos=sin两角互余，则可解出的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、 与均值定理有关的问题例题2：已知A、B是椭圆 长轴的两个端点，M、N是椭
3、圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为 .解答一（第三定义+均值）：由题意可作图如下：连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而解答二（特殊值法）：这道题由于表达式非常对称，则可直接猜特殊点求解。时可取最值，则M、N分别为短轴的两端点。此时：。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。变式2-1：已知A、B是椭
4、圆 长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为，且。若的最小值为1，则椭圆的离心率为 .解答：连接MB，由椭圆的第三定义可知：，而变式2-2：已知A、B是椭圆长轴的两个端点，若椭圆上存在Q，使 ，则椭圆的离心率的取值范围为 .解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为，直线QB的倾斜角为 。， 由椭圆的第三定义：，则带入可得： （取等条件：，即Q为上顶点）而tanx在单增，则Q为上顶点时，所以此时，故解答二（极限法）：当Q趋近于A、B两点时，（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧，相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时（Q在
5、以AB为直径的圆内部，直径所对的圆周角=90），由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时。由于：椭圆上存在Q，使，那么 Q为短轴端点时。取临界情况，即Q为短轴端点时，此时；当椭圆趋于饱满（）时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90，不满足；当椭圆趋于线段（）时，满足。故。当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，”时能会颠覆“”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：与第三定义发生联系tanx
6、在单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。四、 总结归纳1. 上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2. 对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23. 极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续）， 所以只需考虑边界值。4. 做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2。5. 常以正切值刻画角度大小。6. 在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜
7、。7. .8. .五、 方法链接针对上文提到的“圆周角找最大角”与“椭圆中另一类均值”进行拓展补充，各附例题。例题3：在平面直角坐标系XOY中，给定两点 和，点P在X轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为 . 解答一（正切+均值）：已知： 、，与x轴交于令，则：， 当时， 当时，的倾斜角较大，令，则（）此时， 当时，的倾斜角较大，则（）此时，由于，且在上单增，此时解答二（圆周角定理）：本题中的取极值时的P点的几何意义为：过M、N的圆与x轴切于P点。下面给出证明：证明：以与x轴切于点的圆满足所求最大角为例：由于是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在上随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r较
8、小时，圆与x轴无交点；当半径稍大一点时，圆与x轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，圆与x轴有两交点、。此时：根据圆周角定理：，可知：圆与x轴相切时，。 R较小的情况（圆与x轴相离） R较大的情况（圆与x轴相交于、）所以：过M、N的圆与x轴切于、点时，分别有只需比较与，哪一个更大。令与x轴相切的圆的圆心为 ，则切点，半径为y圆满足： （消去y）比较可知：当x=1时，点评：常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子（一次）为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大就行了。（不比较也行，画
9、图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的圆周角越小。）其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。变式3-1：若G为ABC的重心，且，则的最大值为 .解答一（余弦定理+均值）：令，则由 由点间的距离公式：，由余弦定理：由于： 解法二（圆周角定理）：令，则题目转化为：，满足：，求的最大值。目测可知时，下面以来证明。过，作圆O：若C不在点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理： 证得此时由余弦定理点评：可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系圆的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。例题4：（对椭圆用均值）：过椭圆上一点P引圆O：的两条切线PA、PB，其中A、B为切点，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N，则OMN面积的最小值为 .解答：设，P点满足在圆外，则圆的切点弦方程为：点评：解法巧妙，很难想到，权当欣赏。注意看到题目就要马上联想到圆的切点弦方程，当遇到面积表达式中含有时，可对椭圆进行均值，构造的范围。
