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1、第二十一讲导数及其应用1、曲线的切线：设曲线C是函数y=f（x）的图象，在曲线C上取一点，过P，Q两点作割线，当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，即0时，割线PQ的极限位置PT，直线PT叫做曲线在点P处的切线。设切线PT的倾斜角为割线PQ的斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率，即2、瞬时速度：3、导数的概念：4、导函数的概念：如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样f（x）在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。5、如果函数f（x）在点处可导，那么函数f（x）在
2、点处连续，反之不一定成立。如:y=连续不可导。6、导数的几何意义：函数f（x）在点处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是7、几种常见函数的导数：(1)、常函数的导数为0，即，(2)、幂函数的导数为，与此有关的如下：(3)、，(4)、(5)、8、导数的运算法则：复合函数的导数：首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即9、应用导数解有关切线问题：过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：切点分别
3、为（0,0），（3,18）。或）。 解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点，如果不是切点，应先设切点为然后写出切线方程：再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点，则直线求此点的导数得出直线的斜率。10、应用导数解函数的单调性问题：(1)、若f（x）0,则f（x）为增函数,(2)、若f（x）0,则f（x）为减函数,(3)、若f（x）0恒成立,则f（x）为常数函数,(4)、若f（x）的符号不确定,则f（x）不量单调函数,(5)、利用导数法来划分函数的单调区间时，单调增区间， f（x）0且等号不恒成立。单调减区间， f（x）0且等号不恒成立。可利用下列步骤来划分区间：1）求f（x），2）求方程f（x）
4、0的根，设根为，3）将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f（x）的符号。4）对于方程f（x）0无意义的点也要考虑。应用单调性求参数的取值范围时，注意f/(x)=0的点; 如：设函数在上单调函数，则实数的取值范围_（答：）；11、应用导数解函数的极值问题：(1)、设函数f（x）在点x附近有定义，如果对x附近所有的点，都有f（x）f（x），就说是f（x）函数f（x）的一个极大值。记作f（x），如果对x附近所有的点，都有f（x）f（x），就说是f（x）函数f（x）的一个极小值。记作f（x），极大值和极小值统称为极值。(2)、当函数f（x）在点x处连续时，（1）如果在点x附近左侧0，右
5、侧0，则f（x）是极大值，x是极大值点。（2）如果在点x附近左侧0，右侧0，则f（x）是极小值，x是极小值点。（3）x是极值点的充要条件是x点两侧导数异号，而不仅是0，0是x为极值点的既不必要而不充分条件。如但对可导函数0是x为极值点的必要而不充分条件。12、应用导数解函数的最大值和最小值问题：求极值、最值步骤:求导数;求的根;检验在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 如：（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；）；（2）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么
6、bc有最_值_答：大，）（3）方程的实根的个数为_（答：1）特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数处有极小值10，则a+b的值为_（答：7）13、定积分：（1）.直线和直线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。（2）.定积分概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中
7、x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分。记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做定积分的下限与上限。区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。（3）.定积分的性质：（k为常数）；（其中acb。当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0。（4）定积分的计算：如果f(x)是区间上的连续函数，并且那么 F(b)-F(a)。这个结论叫做微积分基本定理。又叫莱面尼兹公式。为了方便，我们常常把F(b)-F(a)记成（5）.定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）围成的曲边梯的面积如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)，及直线xa，xb（ab）围成，那么所求图形的面积.在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，通过解方程组确定相应的积分区间。（6）定积分的物理应用：.物体做变速直线运动经过的位移s等于其速度函数v=v(t)在时间区间上的定积分。如果物体沿与变力F（x）相同的方向移动，那么从位置x=a到x=b变力所做的功5
