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1、立体几何 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1(2011年济南)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是()解析：解法一：体积为，而高为1，故底面积为，选C.解法二：选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除A；而选项B、D所得几何体的体积都与有关，排除B、D；易知选项C符合答案：C2(2011年海南海口模拟)已知水平放置的ABC的直观图ABC(斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2 D.a2解析：斜二测画法中原图面积与直观
2、图面积之比为1，则易知S(a)2，Sa2.故选D.答案：D3(2011年金考卷原创)一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图中阴影部分所示，第六个正方形在编号1到5的某个位置上，则第六个正方形所有可能位置的编号是()A BC D解析：分别假设第6个正方形在各个位置上，再分别进行还原，可知在或位置上时可还原为正方体，在其他位置上时不能还原为正方体，故选A.答案：A4(2011年福建莆田市高三教学质检)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A4 B8C12 D24解析：该几何体的高h2，V6224.故选A.答案：A5(2011年东北三校联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧
3、视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为()A14 B6C122 D162解析：解此图形为正三棱柱，底面边长为2，高为2，S全S侧2S底322222122，故选C.答案：C6(2011年乐山二诊)已知三棱锥PABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB2，PAPBPC2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B.C. D.解析：因为PAPBPC2，所以该三棱锥外接球的球心落在PD上，D为AB的中点，设球心为O，则O为PAB的外心R2(R)21，R23R22R12R4，RS表4R24，故选B.答案：B7(2011年湖北八市3月调考)已知直线l、m，平面、，且l，m，给
4、出下列四个命题若，则lm若lm，则若，则lm若lm，则其中正确的命题个数为()A1 B2C3 D4解析：因为l，所以lm，lm所以正确，错误因为l，lm，所以mm，所以正确若m，l，l，m则与相交而不平行，故错答案：B8一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：还原正方体如图所示，设AD1，则AB，AF1，BEEF2，AE3，因为CDBE，所以CD与AB所成的角等于BE与AB所成的角，即为ABE，在ABE中，由余弦定理得cosABE，选D.答案：D9已知三棱锥PABC的四个顶点均在半
5、径为3的球面上，且满足0，0，0，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为()A9 B18C36 D72解析：依题意PA、PB、PC两两垂直，以PA、PB、PC为棱构造长方体，则长方体的体对角线即为球的直径，PA2PB2PC24R236，S侧(PAPBPBPCPCPA)()18.答案：B11(2011年黄冈3月质检)已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC解析：ABl，AB，AB，C成立m，m，m平行于与的交线lABm成立，ACm成立AC未必在内，AC不一定成立，故选D.答案：D11(2011年浙江省宁
6、波市高三模拟)设m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内两条相交直线，则的一个充分不必要条件是()Al1m，l2n Bml1，ml2Cml1，nl2 Dmn，l1n解析：由ml1，ml2，l1与l2相交知，但时不一定有ml1，ml2.答案：B12(2011年山东省潍坊市模拟)设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列四个命题：若，m，则m若m，n，则mn若，m，则m若m，m，则其中正确的是()A BC D解析：由面面平行的性质可知正确，由面面垂直的判定知正确答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中横线上)13(2012年福州质检)四棱锥PABCD的顶点P在底
7、面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如下图所示，根据图中的信息，在四棱锥PABCD的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为_解析：互相垂直的异面直线有：PA与BC，PA与CD，AB与PD，AD与PB，BD与PC，BD与PA，共6对答案：614已知正三棱锥PABC的底面是边长为1的正三角形，其三条侧棱与底面所成角相等且都等于45，则这个正三棱锥的体积为_解析：由于三条侧棱与底面所成角相等，且ABC是正三角形，所以点P在ABC上的射影点O是ABC的中心如图，连接CO，PO，则POOC1，所以正三棱锥的体积为SABCPO.答案：15(2011年浙江省台州市高三模拟)如图是某几何体的三视图，其中
8、正视图、侧视图的长均为4，宽分别为2与3，俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积是_解析：由三视图可知该几何体为三棱柱，V32412.答案：1216(2011年江苏省“金太阳”百校大联考)关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；其中真命题的序号是_解析：是真命题答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，1822题，每题12分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E为AB的中点(1)求证：AC平面BDD1；(2)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；(3
9、)求点B到平面A1EC的距离解：(1)证明：由已知有D1D平面ABCD，得ACD1D，又由ABCD是正方形，得ACBD，D1D与BD相交于点D，AC平面BDD1.(2)延长DC至G，使CGEB，连接BG、D1G，CG綊EB，四边形EBGC是平行四边形BGEC.D1BG就是异面直线BD1与CE所成角在D1BG中，D1B2，BG，D1G.cosD1BG，异面直线BD1与CE所成角的余弦值是.(3)A1AECBE，A1ECE.又A1C2，点E到A1C的距离d.SA1ECA1Cd，SA1EBEBA1A1.又由VBA1ECVCA1EB，设点B到平面A1EC的距离为h，则SA1EChSA1EBCB，h2，
10、h.点B到平面A1EC的距离为.18(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中联考)如图，已知三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形(1)求证：DM平面APC；(2)求证：平面ABC平面APC；(3)若BC4，AB20，求三棱锥DBCM的体积解：(1)由已知得，MD是ABP的中位线MDAPMD面APC，AP面APCMD面APC(2)PMB为正三角形，D为PB的中点，MDPB，APPB又APPC，PBPCPAP面PBC.BC面PBCAPBC.又BCAC，ACAPA，BC面APCBC面ABC，平面ABC平面APC(3)MD面PBC，MD是三棱锥MDBC的
11、高，且MD5又在直角三角形PCB中，由PB11，BC4，可得PC2于是SBCDSBCP2，VDBCMVMDBCSh11.19(2011年江苏省苏北四市模拟)如图，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，B90，沿EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点，求证：(1)直线FM平面A1EB；(2)平面A1FC平面A1BC.证明：(1)取A1B中点N，连接NE，NM，则MN綊BC，EF綊BC，所以MN綊FE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FMEN，又因为FM平面A1EB，EN平面A1EB，所以直线FM平面A1EB.(2)因为E，F分别是AB和AC的中点，
12、所以A1FFC，所以FMA1C.同理，ENA1B.由(1)知，FMEN，所以FMA1B.又因为A1CA1BA1，所以FM平面A1BC.又因为FM平面A1FC，所以平面A1FC平面A1BC.20(2011年江苏南通第一次调研)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC，BB13，D为A1C1的中点，F在线段AA1上(1)AF为何值时，CF平面B1DF?(2)设AF1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解：(1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1面ABC，ABC，以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为AC2，ABC90，所以ABBC.从而B(0,0,0)，A(，0,0)，C(0，0)，B1(0,0,3)，A1(，0,3)，C1(0，3)，D(，3)，所以(，3)设AFx，则F(，0，x)，(，x)，(，0，x3)，(，0)，()x00，所以.要使平面B1DF，只需CFB1F.由2x(x3)0，得x1或x2，故当AF1或2时，CF平面B1DF.(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1(0,0,1)设平面B1CF的法向量为n(x，y，z)，则由得令z1得n(，1)所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cosn，n1
