高数学习指导一教程文件

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1、高等数学（1）学习方法指导（二） 内容 第三章 导数与微分； 第四章 导数的应用,基本要求 一、导数概念 1、理解导数由具体的变化率问题抽象而产生的概念，知道导数值与导数的联系与区别。 2、理解函数的导数与变化率的关系，导数的几何意义，掌握求曲线在一点的切线的方法。 3、理解函数可导与连续之间的关系。 4、能利用定义求函数在一点处导数的方法，会求分段函数在分段点处的导数。,二、初等函数求导数,1、熟记求导的四则运算法则，导数的基本公式，熟练掌握利用四则运算和导数基本公式求导数。 2、熟练掌握复合函数求导法则，会求隐函数和反函数的导数，会利用对数求导法则求导数。 3、理解高阶导数的定义，掌握求二

2、阶导数的方法，会求一些简单函数（如 等）的n阶导数。,三、函数的微分,1、理解微分的定义，明确可导与微之间的关系。 2、理解一阶微分形式的不变性，会熟练地求出函数的微分。 3、记住利用微分近似计算函数改变量和函数近似值的公式，会用微分计算函数的近似值,四、中值定理,1、会叙述罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西定理，掌握三定理的条件和结论。 2、了解三定理之间的关系、作用，罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义。,六、函数的单调性和极值,1、掌握利用导数判别函数单调区间的方法。 2、知道如何运用函数单调性证明不等式。 3、理解函数的极值和极值点的概念，掌握求函数极值和极值点的方法和步骤，会熟练地求解

3、。 4、会解决简单的最大（小）值实际问题。,七、曲线的凹性、拐点、渐近线，函数作图,1、理解曲线上凹、下凹和拐点的概念，会利用导数讨论曲线的凹向，求拐点。 2、理解水平和垂直渐近线的定义，并会求曲线的水平和垂直渐近线。 3、掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形。,八、导数的几何应用,1、熟练掌握求解以几何问题为主的简单实际应用问题中最大值和最小值的方法。,内容提要 一、导数概念,导数是由具体的变化率问题（变速直线运动的瞬时速度和曲线的切线的斜率）抽象而产生的，它以极限为基础，是极限概念的具体应用。,1、定义：设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得改变量，函数f(x

4、)取得相应的改变量=f(+)-f()，如果当0时，极限存在. 存在，则称此极限值为函数f(x)在点处的导数，并称函数f(x)在点处可导.,说明：,（1）记+=x,则导数定义可记为 这种形式在=0时计算可简化。 （2）导数的实质是函数在某一点的变化率，导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限，是“”型极限。 （3）函数f(x)在处不可导有以下几种情况： 10,（3）函数f(x)在处不可导有以下几种情况：,10lim0yx= 20 x lim0+yx与xlimyx存在但不相等； 30 或 至少有一个不存在。,。 2、左导数和右导数,若=存在，称之为f(x)在点处的左导数，记作； 若=存在，称之为函

5、数f(x)在点处的右导数，记作。 函数y=f(x)在点处可导的充分必要条件是f(x)在点处的左、右导数都存在且相等。,3、导数与导函数，如果函数f(x)在区间（a,b）内可导，则对于该区间内每一点x ，都有。对应的导数值，故是x的函数，我们称这个函数为f(x)的导函数,函数f(x)在一点处的导数是导函数在该点处的函数值，记作。,4、导数的几何意义，函数y=f(x)在点x0处的导数f(x) 表示曲线y=f(x)在点M（x0, y0）处切线的斜率，即tan=f(x0)(a。2)过曲线y=f(x)上点（x0,y0）处的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0),5、利用导数定义求导数（导函数）的步

6、骤：,（1）求y=f(x+x)-f(x) （2）作比值yx。 （3） 求x0时yx的极限，即 Lim f(x)= f(x+x0)-f(x)x x0 分段函数在分段点处的导数的求法是：用导数定义求出分段点的左、右导数后确定。,6、可导与连续的关系，若函数f(x)在点处可导，则它在点处必连续；若函数f(x)在点处连续，但在该点未必可导，也就是说，函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件。,二、导数的基本公式与运算法则,1、基本导数公式： （1）c=0（c为常数）； （2）(xa) ,=ax a-1（a为任意实数）； （3）(logax),=1/x logae(a0,a1)，特例：(ln x)=1/

7、x。 （4）(ax),=ax ln a(ao,a1)特例(ex),=ex （5）(sin x),=cosx （6）(cos x),=-sinx （7）(tan x),=1/cos2x=sec2x （8） (cot x),=-1/sin2x=-csc2x,(9)(secx),=secxtenx (10)csc(x),=-csc x cot x (11)(arcsinx),=1/_1-x2(-1x1) (12)(arccosx),=1/_1-x2(-1x1) (13)(arctamx),=1/1+x2 (14)(arc cotx),=-1/1+x2,对导数基本公式的记忆要准确熟练，它是求导数的基础

8、，并由它们可推导出微分公式和积分公式，公式中带“余”字的三角函数、反三角函数均有负号,3、复合函数求导法则，若函数y=f(u)及u=均可导，则 dy/dx=f,(u) 即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 法则适用于有限次复合的函数。,即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 法则适用于有限次复合的函数。 4、隐函数求导法则。若y=f(x)是由方程F（x.,y）=0确定的可导函数，则其导数可由方程,求得，即隐函数求导法则是：把方程两边对x求导，注意y是x的函数，然后从求导后得到的等式中解出。5、对数求导法则。若u(x)、v(u

9、)分别可导，则幂指函数y=u可用对数求导法求出。对数求导法则是：先将函数两边取对数，然后化成隐函数求导数，它适用于幂指函数和含有多个因子等较复杂的函数。,6、高阶导数。函数y=f(x)的导数一般仍是x的函数，它的导数称为此函数的二阶导数，记为，或，即,一般地，函数y=f(x)的n-1阶导（函）数的导数称 为f(x)的n阶导数，即 （n=2,3,4,）,三、函数微分 1、定义：对于自变量在点x处的改变量可表示为,其中A为不依赖于的常数，则称函数y=f(x)在点x处可微，称A为函数y=f(x)在点x处的微分，记为dy，即dy=A。,规定自变量的微分就是它的改变量：dx=x,2、函数可微的充要条件，

10、函数y=f(x)在点x处可微的充分必要条件是它在该点处可导，且dy= (x)dx,因此求微分dy，只要求出导数（x），再乘以dx即可。从而根据导数的基本公式和四则运算法则，可以得到函数微分的基本公式及其运算法则。,3、微分形式的不变性，对函数y=f(u)来说，不论u是自变量还是中间变量。函数微分dy=(u)du的形式是完全一样的，这就叫微分形式的不变性。,利用一阶微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分，进而得到函数的导数。 4、微分的几何意义，函数y=f(x)的微分dy，在几何上就是过点M（x,y）的切线的纵坐标的改变量。,5、微分在近似计算中的应用 （1）求函数增量的近似值公式 （2）求函

11、数在某点附近的函数值的近似公式： f(x),四、中值定理 1、罗尔定理、条件：如果函数f(x)满足；（1）在闭区间a,b 上连续；（2）在开区间（a,b） 内可导；（3）且两端点函数值相等，即f(a)=f(b),结论：在（a,b）内至少存在一点，使得 =0 罗尔定理在确定方程的根中的作用： 若f(x)满足定理条件，则方程f(x) =0的两个根之间必有方程 的一个根。,2、拉格朗日中定值定理，条件：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间a,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导。,（a ）成立，或f(b)=f(a)+ （称中值公式）。,说明：罗尔定理和拉格朗日中值定理的条件是严格的，条件不满足，

12、结论就不一定成立；但条件仅是充分条件，即若定理条件不满足，结论也有可能成立,3、柯西中值定理，条件：如果函数f(x)与g(x)满足： （1） 在闭区间a,b上连续； （2） 在开区间（a,b）内可导； （3） 在（a,b）内任何一点处不等于零。 结论：在（a,b）内至少存在一点，使得,4、三个定理之间的关系：,推广 特例,五、罗彼塔法则,罗彼塔法则是确定未定式极限的简便有效的法则，是极限计算中常用的解法，但它不是万能的，注意有失效现象。 1、型未定式，条件：设函数f(x)与g(x)满足。,（2）,a可以除外）可导，且,；,（1）,（3）,（3）,（3）,在点a的某个邻域内（点,结论：必有,（）

13、,结论：必有,（2）在点a的某个邻域内； （3）,（点a可以除外）可导，且,结论：必有,3、其他类型的未定式，如 0型都可以采取一定方法通过恒等变形转化成两种基本类型，再用罗彼塔法则求解。,（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如等未定式的极限。一般可用取对数法先转化成0 型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔法则求解。,（,f(x) g(x)= 或 ，转化为 （或 ）,(x)-g(x)属 型，可采用“通分”的方法转化为 。,（2若f,（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如 等未定式的极限。一般可用取对数法先转化成0型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔法则求解。,需要指出的是，对于不是“ ”或“

14、”型的未定式，是不能用罗彼塔法则计算极限的。 六、函数的单调性 1、函数单调性的判别法：设f(x)在区间a,b上连续，在（a,b）内可导，若,（1）在（a,b）内 ，则f(x)在a,b上单调增加；,（2）在（a,b）内 ，则f(x)在a,b上单调减少。,证明：判别法中的闭区间可以换成其他各种区间，包括无穷区间。 2、利用函数的单调性证明不等式。 七、函数的极值和最值,1、定义：设函数f(x)在点x= 的一个邻域内有定义，,如果当x (x0一 ,x0)Y( x0 ,x0 ),+,时总有f(x)f( )，则称f( )为函数的极大值（或极小值)。,称为f(x)的一个极大值点（或极小值点）。 函数的极

15、大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。极值点是对函数的自变量而言，极值是对函数值而言，不可混淆。,2、函数取得极值的必要条件和充分条件。 （1）必要条件：若f(x)在处可微，且在处f(x)达到极值，则。 使导数为零的点叫做函数f(x)的驻点，驻点不一定是极值点。,（2）极值的第一充分条件：设f(x)在点的某邻域内连续且可导，或 不存在。 10 若x0，而x时时，0，则函数f(x)在点极小值f()。,简单地说，在过时两侧变号，则函数f(x)在点处取极值，在过时两侧不变号，则函数f(x)在点处不取极值。 可见，可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点，有可能取极值的点除驻点外还

16、需注意判断不可导点。 （3）极值的第二充分条件（判别法）：设=0，且存在： （1）当0时函数f(x)在取得极大值；,（2）当0时函数f(x)在取得极大值。 注意：当=0时，不能判定f(x0)是否为极值，这时仍需用第一判别法。 3、函数的最值，连续函数f(x)在a,b上的最大值与最小值一定存在，可以由区间端点函数值f(a)、f(b)与区间内所有驻点不存在点的函数值比较得到。 注意：函数极值是一个局部性概念，函数最值是对所讨论的整个区间而言，是一个整体性的概念，因而某一个极小值大于另一个极大值就不足为怪了。 对于应用问题来说，极大多数是下述情形：f(x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且仅有一个驻点，当是极大值点时，就是函数f(x)在a,b上的最大值；当是