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1、江西省赣州市石城中学 2020 届高三数学上学期第三次周考试题 （A）文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求. 1在复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为（ 2i 1i z AA ） ABCD1i1i1i 1i 2 是成立的（ ）03x12x A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 3若向量，的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）ab 3 2a1b2aba ABCD 3 6 2 3 5 6 4若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（
2、 ） ABCD 1 2 3 2 3 4 6 4 5函数的部分图象可能是（ ） 1 e2cos1 x f xx ABCD 6将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关 sin0, 2 f xx 6 于轴对称，且，则当取最小值时，函数的解析式为（ ）y 1 2 f f x ABCD sin 2 6 f xx sin 2 6 f xx sin 4 6 f xx sin 4 6 f xx 7数学名著九章算术中有如下问题：“今有刍甍（mng） ，下广三丈，袤（mo）四丈； 上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩 形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈；上棱长 2 丈，高
3、 1 丈，问 它的体积是多少？” 现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形 的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（ ） A立方丈 B5 立方丈 C6 立方丈 D立方丈5.56.5 8已知直线 经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于l 210 340 20 xy xy y 22 :16O xy 、两点，则当最小时，直线 的方程为（ ）ABABl AB CD20y 40 xy20 xy32130 xy 9已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则 n a 765 2aaa m a n a 2 1 16 mn aaa 的最小值为（ ） 19 mn ABCD 3 2 11 4 8 3 10 3 1
4、0如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线ABCDE BC 与所成角的余弦值为（ ）AEBC ABCD 3 3 5 5 30 6 6 6 11已知为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，若点在F 2 4yxOPA 抛物线上，且，则的最小值为（ ）5AF PAPO ABCD52 5132 13 12已知是定义域为的奇函数，满足 f x, 11fxfx 若，则（ ） 12f 1232018ffff A50B2C0D2018 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13曲线在点处的切线方程为_ e2 x f xx 0,0f 14已知函数，则_ 2 2 sintan ,0 ,0e
5、 x xxx f x x 25 4 ff 15在三角形中，角，的对边分别为，ABCABCa ，点是平面内的一个动点，若，则bc30A 45C 3c PABC60BPC 面积的最大值是_PBC 16设函数对于任意，都有成立，则实数 2 1 2 f xx ax1,1x 0f x _a 三、解答题（共 70 分） 17 （12 分）在中，ABC3sin2sinABtan35C （1）求；cos2C （2）若，求的周长1ACBCABC 18 （12 分）已知某单位全体员工年龄频率分布表为： 年龄（岁） 25,3030,3535,4040,4545,5050,55合计 人数（人） 61850311916
6、140 经统计，该单位 35 岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率 分布直方图如图所示： （1）求；a （2）求该单位男女职工的比例； （3）若从年龄在岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工25,30 和一名女职工的概率 19 （12 分）如图，正三棱柱的所有棱长都为 2，为的中点 111 ABCABCD 1 CC （1）求证：平面； 1 AB 1 ABD （2）求三棱锥的体积 11 BAB D 20 （12 分）椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且AMOF ，离心率为21MF FA 2 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线
7、 交椭圆于、两点，判断是否存在直线 ，使点恰为的垂心？若lPQlFPQM 存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由l 21 （12 分）已知函数 2 1 1 e 2 x f xxaxax （1）讨论的单调性 f x （2）若，求的取值范围 0 1,2x 0f x a 请请考考生生在在 2 22 2、2 23 3 两两题题中中任任选选一一题题作作答答，如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题记记分分 22 （10 分）点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半P 2 2 1 24Cxy:Ox 轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨OP90QQ 迹为曲线
8、 2 C （1）求曲线，的极坐标方程； 1 C 2 C （2）射线与曲线，分别交于，两点，设定点，求0 3 1 C 2 CAB2,0M 的面积MAB 23 （10 分）已知函数 10f xaxa （1）若不等式的解集为，且，求实数的取值范围； 2f x A2,2A a （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 123 2 f xfx aa xa 文科（文科（A A）答案）答案 一选择题 BABAA CBDCD DB 二填空题 13： 14：15： 16：120 xy 3 1 e 9 3 8 17 （1），tan35C 1 cos 6 C 2 117 cos221 618 C （2）设
9、的内角，的对边分别为，ABCABCabc ，3sin2sinAB32ab ，1ACBCba2a 3b 由余弦定理可得， 222 2cos13211cababC 则，的周长为11c ABC511 18 【答案】 （1）；（2）；（3）0.02a 4:3 8 15 19 【答案】 （1）见解析；（2） 2 3 3 【解析】 （1）证明：由正三棱柱的所有棱长都相等可知， 111 ABCABC 11 ABAB 如图，取的中点，连接BCE 则， 1 BCDB BERtRt ， 1 BB ECBD 11 90CBDCDBBB EBEB 1 BDB E 由平面平面，平面平面，且得，平面ABC 11 BCC
10、BABC 11 BCC BBCAEBCAE ， 11 BCC B ，平面，平面，AEBD 1 B E 1 AEBAE 1 AEB 1 AEB EE 平面，BD 1 AEB 1 BDAB 平面，平面，平面， 1 AB 1 ABDBD 1 ABD 1 ABBDB 1 AB 1 ABD （2）连接，由平面， 1 B D 1 AA 11 BCC B 所以点到平面的距离，等于， 1 A 11 BCC B 2222 213AEABBE ， 11 1 11 222 22 BDBBCC B SS 正方形 ， 1 1111 112 3 23 333 B A B DABDBBDB VVSAE 故三棱锥的体积为 1
11、1 BAB D 2 3 3 20 （1）设椭圆的方程为，半焦距为 22 22 10 xy ab ab c 则、，,0A a0,Mb,0F c,MFcb ,0FAac 由，即，21MF FA 2 21acc 又，解得，椭圆的方程为 2 2 c a 222 abc 2 2 2 1 a b 2 2 1 2 x y （2）为的垂心，FMPQMFPQ 又，0,1M1,0F1 MF K 1 PQ K 设直线：，PQyxm 11 ,P x y 22 ,Q xy 将直线方程代入，得 2 2 1 2 x y 22 3+4220 xmxm ， 12 4 3 m xx 2 12 22 3 m xx ，且， 2 2
12、412 220mm33m1m 又，PFMQ 11 1,PFxy 22 ,1MQxy ，即， 212121 0 xx xy yy 2 1212 120mxxx xmm 由韦达定理得，解得或（舍去） 。 2 340mm 4 3 m 1m 存在直线 ：使为的垂心l 4 3 yxFMPQ 21 （1） ee1 xx fxxaxaxa 当时，；，0a ,0,xa 0fx ,0 xa 0fx 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 f x,a,0a0, 当时，对恒成立，在上单调递增0a 0fx xR f xR 当时，；，0a ,0,xa 0fx 0,xa 0fx 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
13、 f x,00,a, a （2）当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，0a f x0, f x1,2 ，解得， min 11 1e1e0 22 f xfaaa 1 0 2 1e a 当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增0a f x0,a, a 当时，在上单调递增01a f x1,2 对恒成立，则符合题意； min 11 1e1e0 22 f xfaaa 0,1a01a 当时，在上单调递减，在上单调递增12a f x1,a,2a 2 min 1 e 2 a f xf aa 设函数， 2 1 e 2 x g xx 1,2x 易得知时，1,2x 2 11 ,2 22 x 2 ee ,
14、e x 0g x 故对恒成立，即符合题意 2 min 1 e0 2 a f xf aa 1,2a12a 当时，在上单调递减2a f x1,2 对恒成立， 22 min 21e221e20f xfaaa2,a 则符合题意2a 综上所述：的取值范围为a 1 , 2 1e 22 （1）曲线的圆心为，半径为 2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程 1 C2,0 1 C 为4cos 设，则，则有,Q , 2 P 4cos4sin 2 所以曲线的极坐标方程为 2 C4sin （2）到射线的距离为，M 3 2sin3 3 d ，则4 sincos 231 33 BA AB 1 33 2 SABd 23 （1），12ax 212ax 13 x aa 1 3 ,A a a ，的取值范围2,2A 1 2 3 2 a a 3 2 a a 3 , 2 （2）由题意恒成立，设， 3 11 2 axx 11h xaxx ， 1,1 1 12,1 1 1, axx h xa xx a axx a 时，由函数单调性，01a min 11h xha 3 1 2 a 1 1 2 a 时，1a min 11a h xh aa 13 2 a a 12a 综上所述，的取值范围a 1 ,2 2
