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1、1,班级： 时间： 年 月 日；星期,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,2,友 情 提 示,本次课讲第五章第一、二节，向量组的内积与正交，特征值概念 下次课讲第五章第二三节，特征值，相似矩阵与对角化 下次上课时交作业P4142,3,2.结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 Rn 的一个基，由此可知 Rn 的维数为 n .,分析：因为任意n1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,4,4.向量由基线性表示
2、的系数坐标,3.过渡矩阵概念：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,5,例4: 设,验证 是 R3 的一个基，并求 在这个基中的坐标.,解,第十二讲：方程组解的解构与向量空间,6,且,第十二讲：方程组解的解构与向量空间,7,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,8,(ii),(iii),第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,9,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,10,2.齐次性,3.三角不等式,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,11,1.正交向量组的概念的引入：,由此可得：,向量的内积满足施瓦茨不等式：,特殊地：零向量与任何向量都正交.,（2）正交向量组定义：如果向量组向量
3、两两正交，则称为正交向量组,三、向量的正交与正交基,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,12,2.正交向量组的性质（无关性）,即,同理可得：,因此向量组 线性无关.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,13,3.如何求与已知向量组正交的向量（组）：,4.正交基,（1）正交基的定义：用正交向量组作向量空间的基，称为向量空间的正交基,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,14,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,15,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,16,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,17,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,而且，由正交化过程，显然A、B两组向
4、量可互相线性表示,18,再把 单位化：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,19,例2 已知 求一组非零向量 使 两两正交.,解,都应满足方程 ，,即,得基础解系：,取,及,及,把基础解系正交化：,取,即为所求.,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,20,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,21,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,22,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,23,亦即,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,24,正交矩阵的性质,第十二 讲：基与正交基，特征值与特征向量,25,四、特征值与特征向量的概念 1.定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果 和 n 维非零列向量 x 使关系式：,（1）,成立，那么称数 为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 的特征向量.,注意：定义的几个要点 （1） A 是 n 阶矩阵，即方阵 （2）特征值 是数， （3）特征向量x 是非零向量,2.如何求特征值与特征向量 （1）特征值的求法,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,26,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,27,（2）特征向量的求法：,第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量,
