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1、 - 1 - 等腰三角形性质等腰三角形性质 【基础知识精讲】【基础知识精讲】 等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊 性质: 1.两个底角相等(简写为“等边对等角”) 2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一. 3.等边三角形各内角都等于 60. 利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进 行有关线段、角的证明及计算问题. 【重【重难点解析】难点解析】 本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知 识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点. 例例 1 1 求证：等腰三角形两腰的中线
2、相等. 已知ABC 中 AB=AC，BD、CE 为中线，求证 BD=CE. 分析 要证 BD=CE，可考虑证ABDACE，而A 为公共角， AB=AC，所以只需证明 AD=AE 即能达到证明目的. 证 AB=AC, AE=EB, AD=DC AE=AD.在ABD 和ACE 中，AB=AC，A=A AD=AE ABDACE BD=CE. 例例 2 2 等腰三角形一个外角为 100,求三内角度数. 分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角， 但要注意本题中外角是顶 角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解. 解 等腰三角形 两底角相等，设顶角为 x，底角
3、为 y，则 x+2y=180 (1)当顶角的外角为 100时，顶角的外角等于两底角之和 2y=100求得 50 80 y x (2)当底角的外角为 100时，底角 y=180-100=80求得 80 20 y x - 2 - 三内角为 80,50,50或 20，80，80 * * 例例 3 3 ABC 中，ACAB.求证：BC. 证 ACAB 在 AC 上取 AD=AB，连 BD， ADBC. 且ABD=ADB 又ABCABD ABCC. 注意：本例是三角形中边角之间不等关系的一个重要结论：三角形中，若边不相等，则 较大的边所对的角也较大， (简写为 “大边对大角” )这一结论可帮助我们利用边
4、的不等关系， 证明角的不等关系. 例例 4 4 ABC 中，B=2C，AD 为角平分线. 求证 AB+BD=AC. 分析 对于要证的结论，可采用补短法来完成，即延 长 AB 至 E，使 BD=BE 下只需证 AE=AC 即可. AB+BD=AB+BE=AE. 证一 延长 AB 至 E，使 BE=BD AB+BD=AE. BE=BD E=EBD ABC=E+BDE=2E=2C. E=C,在ABE 的ACD 中，EAD=CAD. E=C AD=AD AEDACD AE=AC AB+BD=AC. 证二 分析：本题也可用“截长”的方法来证明 B=2CC. 可在 AC 上取 AF=AB，下面只需证 FC
5、=BD 即可，再利用 DF 作桥梁，证明 BD=DF=FC. 证B=2CC ACAB,在 AC 上取 AF=AB. 又1=2.AD=AD ABDAFD. BD=FD. AFD=B=2C. FDC=C. AB+BD=AF+FC=AC. 【难题【难题点拨】点拨】 例例 1 1 D 为等边三角形ABC 内一点，DA=DB，DBP=DBC.BP=BC，求P 的度数. - 3 - 分析 正三角形内角为 60，可考虑将P 与三角形内角进行联系，借用内角 60以 达解题目的，连 DC 后易得PBDCBD，从而将求P 转 化为求DCB. 解 连 DC BP=BC PBD=CBD BD=BD PBDCBD. P
6、=DCB. 又 BD=AD CD=CD AC=BC BCDACD BCD=ACD= 2 1 ACB= 2 1 60=30 P=30 * * 例例 2 2 ABC 中 AB=AC，P 为形内一点，且 PBPC. 如图,求证APCAPB. 分析 这一类在等腰三角形、等边三角形等图形中出现的与 形内一点相关的问题.常利用适当的旋转.使等边重合.将该点与 三顶点的连线段相对集中到一个三角形内，再设法利用已知来解 决问题. 证 AB=AC 将ABP 绕 A 点逆时针旋转，使 AB 与 AC 重合得APC， 连 PP由作 图ABPACP AP=AP，BP=CP 1=2 APB=APC，PC=BPPC. 在
7、PPC 中，PCPC 34 1+34+2. APCAPC APCAPB. 本题利用了“大边对大角”这一结论。 【难题解答】【难题解答】 求证：等腰三角形两腰上的高的交点，与底边两端点距离相等. 已知ABC 中 AB=AC，高 BE，CF 交于 D(或延长线交于 D)，求证：DB=DC. - 4 - 甲 乙 丙 分析 本题应考虑A 的各种情况. A=90时(图丙)，两高各与边重合，显然结论成立. A90时(图甲)， D 在形内， 此时先证BFCCEB(AB=AC， ABC=ACB， CEB= BFC=90，BC 为公共边)得 BF=CE，再证BFDCED，得 DB=DC. 当A90时(图乙)，D
8、 在形外，证法步骤一样，但图形中相关线段位置发生了 变化. 【典型【典型考题】考题】 例例 1 1 周长为 21，边长都为整数的等腰三角形共有( ) A.4 个 B.5 个 C.8 个 D.10 个 分析 设底边为 x,腰长为 y，x+2y=21. 2y 为偶数，21 为奇数 x 为奇数. 又三角形两边之和大于第三边 x2y. x+2y2x 2x21 x10.5. x 为奇数 x=1，3，5，7，8 共 5 个 答案 B. 注 x=7 时，y=7 为等边三角形，属特殊等腰三角形. 例例 2 2 如图， D、E 在ABC 的边 BC 上，且 AD=AE=BD=DE=EC. 则BAC 是EAC 的
9、几倍？ 分析 从等边ADE 入手，得ADE=AED=60,再 利用ABD 和AEC 为等腰三角形， 且顶角的外角ADE= AED=60.求出EAC 再求BAC. 解 AD=AE=DE ADE 为等边三角形 ADE=AED=DAE=60又 AE=EC，AD=DB BAD=B= 2 1 ADE=30EAC=C= 2 1 AED=30 BAC=120 BAC 是EAC 的 4 倍. - 5 - 例例 3 3 如图，MB=2MA，MC=BC，1=2，求证 MAAC. 分析 利用 MB=2MA，可考虑取 MB 中点 D，利用等腰三角形 性质.可知 CDMB,再利用三角形全等证A=MDC=90. 证 作M
10、CB 的中线 CD.MB=2MA MA=MD 又1=2 MC=MC MACMDC. A=MDC 又 MC=BC，CD 为MCB 中线 CDMB CDM=90 A=90 MAAC. 【知识探究学习】【知识探究学习】 ( (一一) )为什么要添线为什么要添线 解证几何题， 就是由已知出发， 用形式逻辑的推理与量的计算， 来探究新的、 未知结果， 一句话，就是要创造条件实现从已知向结论的转化，实现这一转化，要具体问题具体分析， 而添设辅助线， 正是创造转化条件的一部分， 是为了联系几何元素之间的关系而架设的桥梁. ( (二二) )添辅助线的目的添辅助线的目的 总目的在于沟通解题思路，创设由已知条件向
11、所求结论过渡的条件，不可生硬 地机械 照搬，而是随着解题思路而展开，某些条件不能直接与结论发生联系时，为发掘、创设这些 条件联系的途径， 来设想和决定在图中添什么线与怎样去添线， 这正是理解添设辅助线方法 的精髓. ( (三三) )添线的原则、手段添线的原则、手段 (1)化分散为集中，就是通过添加辅助线将已知和未知的有关几何元素相对集中到同一 个或几个相关基本几何图形中去，使之产生联系. (2)化整体为部分，就是通过添线把复杂的几何图形分解为几个简单的几何图形，使问 题化繁为简. (3)化不规则为规则，即通过添线将不规则几何图形化为规则几何图形，使问题化难为 易. 添线的常用手段是平移、旋转、
12、对称、截取、延长等. - 6 - 【同步【同步练习】练习】 一一、判断、判断(3 分8=24 分) ( )1.等腰三角形一个内角为 120，另两个内角必为 30. ( )2.等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一. ( )3.内角为 70的等腰三角形，另两角一定为 70和 40. ( )4.等边三角形不一定是锐角三角形. ( )5.O 为等腰三角形三中线交点，M 为三内角平分线交点，N 为三条高的交点，则 O、M、 N 共线. ( )6.等腰三角形一个外角是钝角，则与它相邻的内角是底角. ( )7.底边相等，且有一个角相等的两等腰三角形全等. ( )8.底边相等，周长也相等的两个等腰三角形全等
13、. 二、填空二、填空(4 分8=32 分) 1.等腰三角形中一个内角为 108,则另两个内角分别为 . 2.ABC 中，BA=BC，C=50, A, C 的外角平分线交于 D，则ADB= . 3.ABC 中，AB=AC，C=36，BC=6,BD 为外角平分线，则 BD= . 4.周长为 13，边长为整数的等腰三角形共有 个. 5.AD 为ABC 的高，AB=AC，ABC 周长为 20cm，ACD 周长为 14 cm，则 AD=_. 6.D、E、F 分别为ABC 的边 AB、BC、CA 上的点，DFBC，BD=DE=EF=FC，B=30,则 A= . 7.线段 AD、 BC 交于 O， 且 AB
14、=AC， DB=DC， AD=3， BC=4.则四边形 ABDC 的面积为 . 8.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为 100，则顶角 ，底角 . 三、选择三、选择(4 分8=32 分) 1.等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于( ) A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的 2 倍 D.底角的一半 2.等腰三角形顶角是底角的 4 倍，则顶角为( ) A.20 B.30 C.80 D.120 3.等腰三角形顶角为钝角，它的高、中线和角平分线的条数总和为( ) A.3 B.6 C.7 D.9 4.BD 为ABC 的角平分线，AB=AC，BDC=75,则A 为( ) A.40 B.50 C.70 D.
15、80 - 7 - 5.等腰三角形底边长为 5cm，腰上的中线把三角形周长分为差为 3cm 的两部分，则腰长为 ( ) A.2cm B.8cm C.2cm 或 8cm D.不能确定 6.等腰三角形一个外角等于 110,则底角为( ) A.70或 40 B. 40或 55 C. 55或 70 D. 70 7.D、E 为ABC 的边 BC 上两点，且 AD=AE=-BD=DE=EC，则BAC 是EAC 的( ) A.1 倍 B.2 倍 C.3 倍 D.4 倍 8.三角形一边上的高与中线相互重合，且等于该边的一半，则这个三角形是( ) A.任意三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 四、解答题四、解答题(6 分2=12 分) 1.ABC 中，C=90 AC=BC，BD 为角平分线 AEBD 交 BD 延长线于 E，求证 AE= 2 1 BD. 2.如图,ABC 和DEC 均为等边三角形，DAB=40,BACD=15,求
