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1、第2讲 两直线的位置关系及交点、距离随堂演练巩固1.已知直线ax+y+5=0与x-2y+7=0垂直,则a为( ) A.2B.C.-2D. 【答案】A 【解析】由得a=2. 2.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为则P点坐标为( ) A.(1,2)B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2) 【答案】C 【解析】设P(a,5-3a),则.|2a-3|=1.a=2或a=1. P点坐标为(2,-1)或(1,2). 3.若点A(3,-4)与点A(5,8)关于直线l对称,则直线l的方程为( ) A.x+6y+16=0B.6x-y-22=0 C.6x
2、+y+16=0D.x+6y-16=0 【答案】D 【解析】点A与A关于直线l对称,A与A的中点在直线l上,且.由A与A的中点为(4,2),.直线l的方程为即x+6y-16=0. 4.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为 . 【答案】-8 【解析】即4-m=-2(m+2),m=-8. 5.与直线7x+24y-5=0平行,并且距离等于3的直线方程是 . 【答案】7x+24y-80=0或7x+24y+70=0 【解析】设所求的直线方程为7x+24y+b=0,由两条平行线间的距离为3,得则b=-80或b=70,故所求的直线方程为7x+24y-80=0或7x+
3、24y+70=0. 课后作业夯基基础巩固1.经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程是( ) A.15x+5y+16=0B.5x+15y+16=0 C.15x+5y+6=0D.5x+15y+6=0 【答案】A 【解析】由方程组 得 设所求直线为l, 直线l和直线3x+y-1=0平行, 直线l的斜率k=-3. 根据直线点斜式有 即所求直线方程为15x+5y+16=0. 2.过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为( ) A.6B.C.2D.不能确定 【答案】B 【解析】直线AB与直线y=x+m平行,即b-a=1.
4、|AB|. 3.点(4,t)到直线4x-3y=1的距离不大于3,则t的取值范围是( ) A.B.0t10 C.D.t10 【答案】C 【解析】由题意,得即|15-3t|10. 4.夹在两平行直线:3x-4y=0与:3x-4y-20=0之间的圆的最大面积等于( ) A.2B.4C.8D.12 【答案】B 【解析】圆的最大直径即为两条平行直线间的距离所以r=2.故所求圆的最大面积为. 5.直线x-2y+1=0关于直线y-x=1对称的直线方程是( ) A.2x-y+2=0B.3x-y+3=0 C.2x+y-2=0D.x-2y-1=0 【答案】A 【解析】设所求直线上任一点的坐标为(x,y),则它关于
5、y-x=1对称的点为(y-1,x+1),且在直线x-2y+1=0上,y-1-2(x+1)+1=0,化简得2x-y+2=0. 6.已知实数x,y满足2x+y+5=0,那么的最小值为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】表示点(x,y)到原点的距离,根据数形结合得的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即. 7.(2012山东潍坊阶段检测)已知b0,直线2=0与直线互相垂直,则ab的最小值等于( ) A.1B.2C.D. 【答案】B 【解析】由两条直线垂直的充要条件可得:解得所以.又因为b0,故当且仅当即b=1时取”=“. 8.与直线x-y-2=0平行,且它们的距离为的直线方程是 .
6、【答案】x-y+2=0或x-y-6=0 【解析】设所求直线l:x-y+m=0, 由m=2或-6. 9.若点(1,1)到直线xcossin的距离为d,则d的最大值是 . 【答案】 【解析】依题意有d=|cossin|=|sin|, 于是当sin时,d取得最大值. 10.与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 . 【答案】2x+3y+8=0 【解析】设是直线2x+3y-6=0上任一点,其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y), 则 (*) 又由对称性知 代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0. 11.已知两直线:x+ysin和:2xsi
7、n试求的值,使得:;. 【解】(1)法一:当sin时,直线的斜率不存在的斜率为零显然不平行于. 当sin时sin 欲使只要sin即sin Z,此时两直线截距不相等. 当Z时. 法二:由 即2sin得sin sin.由 即1+sin即sin 得Z, 当Z时. (2)是的充要条件, 2sinsin 即sinZ). 当Z时. 12.已知直线l:3x-y+3=0,求: (1)点P(4,5)关于直线l的对称点; (2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程. 【解】设P(x,y)关于直线l:3x-y+3=0的对称点为P(x,y). 即. 又PP的中点在直线3x-y+3=0上, . 由得 (1)把x=
8、4,y=5代入及得x=-2,y=7, P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(-2,7). (2)用分别代换x-y-2=0中的x,y,得关于直线l对称的直线方程为2=0,化简得7x+y+22=0. 13.已知直线:2x-y+a=0(a0),直线:-4x+2y+1=0和直线:x+y-1=0,且与的距离是. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到的距离是P点到的距离的;P点到的距离与P点到的距离之比是;若能,求P点坐标;若不能,说明理由. 【解】(1)直线方程可化为. 所以与的距离. 所以. 所以|. 因为a0,所以a=3. (2)假设存在
9、点P,设点若P点满足条件,则P点在与、平行的直线l:2x-y+C=0上, 且即或 所以或; 若P点满足条件,由点到直线的距离公式, 有 即|=|, 所以或; 由于P在第一象限,所以不可能. 联立方程和 解得 应舍去. 由 解得 存在点同时满足题中所述三个条件. 拓展延伸14.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小. 【解】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B的坐标为(a,b), 则即. a+3b-12=0. 又由于线段BB的中点坐标为 且在直线l上, 即3a-b-6=0. 解得a=3,b=3,B(3,3). 于是AB的方程为即2x+y-9=0. 解 得 即l与AB的交点坐标为P(2,5). 点P(2,5)即为所求. (2)如图所示,设C关于l的对称点为C, 求出C的坐标为. AC所在直线的方程为19x+17y-93=0, AC和l交点坐标为 故所求P点坐标为. 7
