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1、知识清单1 椭圆的两种定义： 平面内与两定点F|, F2的距离的和等于定长267(26/ |F,F2|)的动点P的轨迹，即点集 M=PI IPF|l+IPF2l=2a, 2aIF|F2l； (2 = |2| 时为线段 F)F2, 2|耳巧| 无轨迹)。 其中两定点”，F?叫焦点，定点间的距离叫焦距。 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=PI 凹 =e，0e1为双曲线)d(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点 为焦点，定直线为准线).2 22标准方程：(1)焦点在x轴上，中心在原点：亠+厶_ = 1 (ab0)
2、；/ b2焦点 F (-c, 0), F2 (c, 0)o 其中 c = yla2-b2 (一个&三角形)2 2(2)焦点在y轴上，中心在原点：丄三+右=1 (ab0)；焦点 F| (0, -c), F2 (0, c)o 其中c = la2-b2注意：在两种标准方程中，总有ab0, c = a2-b2并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=l (A0, B0, AHB),当AB时焦点在y轴上。x a cos 03参数方程：焦点在x轴， - 八(0为参数)y = bsin04 一般方程：Ax2 + By2 =l(A0,B 0)5性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：
3、1 + 21 = 1 (ab0)有以下性质：/ b2坐标系下的性质： 范围：IxIWa, lylWb； 对称性：对称轴方程为x=0, y二0,对称中心为0 (0, 0)： 顶点：A, (-a, 0), A2(a, 0), B】(0,b), B2(0, b),长轴IAjA2l=2a,短轴IB,B2l=2b；(d半长轴长，b半短轴长)；2 2 2 2 椭圆的准线方程：对于二+与=1,左准线右准线/.:% = er trc_ cv2 2 2 2 对于亠+二=1,下准线/, :y = -；上准线l,:y = cr trc c2 2 2 , 2 焦点到准线的距离p = -c=a C =(焦参数) cc
4、c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称. 焦半径公式：P (xo, y0)为椭圆上任一点o IPFIl=a+ex0, IPF2I=a-ex0; IPFjl=厂下二a+ey(), IPF2I= r(. =a-ey0PFmax,左加右减，上减下加 通径：过椭闘的焦点与椭圆的氏轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=a平面儿何性质:(焦距与长轴长之比)w(o,l)；越大越扁，e = 0是圆。2 2焦准距p =;准线间距=上_CC两个最大角(ZF.PF2)max =ZF1B2F2,(ZAI2)max焦点在y轴上，中心在原点：与+斗=1 (ab0)的性质可
5、类似的给出。 / h26.焦点三角形应注意以卜关系: (1)定义：ri + rz = 2a(2)余弦定理：y + r； 2rir2cos 0 = (2c)2(3)面积：S、pf丹=丄/*i/2 sin 0 =丄2引 必)|二 c| yo = b tun | 2 2 2(其中 P(x0,y0)为椭圆上一点,|PFi|=ri, |PF2|=, ZFiPF2= 0)2 27共焦点的椭圆系设法：把椭圆鼻+二=1 (ab0)的共焦点椭圆设为 / b28.特别注意：椭圆方程中的a, b, c, e与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标，与坐 标系有关因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a, b
6、,-个定位条件焦点坐标或 准线方程.9弦长公式:H -y2| = Vl + Pa/a|d|x+x2 =a（a,b,c为方程的系数考点解析考点一 椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用例1 椭圆冇这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经 过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴 长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭a oPRPF2取得最值时的P点坐标。题型2求椭圆的标准方程例3设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且 此焦点与长轴上较近的端点距离为4逅-
7、4,求此椭圆方程.考点二椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4.在AABC中，/A = 30,IA51= 2,5bc = V3 若以A, B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率= 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例5.丄+ 2_已知实数兀满足422 2，求兀+歹一兀的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型1：动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6.椭圆169上的点到直线1 ： *+v 一 9=o的距离的最小值为题型2.PA + PF1、0 的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离PA+-PF心率，求丘的最小值。
8、C：例7.已知椭圆2516内有一点A （2, 1）, F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C网+2|旳上的动点，求3 的最小值。2、网+网的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点）,P为C上的一个动点,F是C的一个焦点，求的最值。例8已知椭圆25 16内有一点a (2, 1), F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求网+ 1旳的最大值与最小值。3、网+站的最值若A为椭圆C外一定点，/为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到/的距离为d,求 网+加的最小值。例9.已知椭圆2厅16 外一点A (5, 6), ?为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P3 网+-N到Z的距离为d,求5的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到
9、准线距离的最值/ 皿、 2 2 d d冷+牛=(a沁0)例10.定长为a 7的线段AB的两个端点分别在椭圆/ 卅上移动，求AB的中点M到椭圆右准线？的最短距离。考点四直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但()这一制约条件不同意。(a,b,c 为bX)+ %2 =a方程的系数)例11已知直线/过椭圆8亍+9尸=72的一个焦点，斜率为2, /与椭圆相交于M、N两点, 求弦|MN|的长。题型2 “点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，
10、过定点且被定点平分的弦所在直 线方程，用“点差法”來求解。步骤：1 设A(X|,yJ B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2设“(“)，儿)为AB的中点。两式相减，丄二仝=孚 兀兀2 。(风+力) a Jo3得出 k=yiy2-x2X2 v2b2注：一般的，对椭圆+ - = 1上眩4B及中点，M ,有K翻 Kom = 7 a lycrr2例12已知椭圆 + y2=l,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程2考点五轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1 直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x, y),直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(xo,yo)在已知曲线F(x,y)
11、=0,上运动，而动点P(x,y)与Q点满 足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式 卩o =/(3)3定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4参数法：在x, y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用为参数) y = y(t)來反映X, y之间的关系。常用的参数有斜率k与角仅等。例13： MBC的一边的的顶点是B(0,6)n C(0,-6),另两边斜率的乘积是-求顶点A的轨迹方程：考点六综合性问题，与平面向量结合(2011四川卷理)(本小题满分12分)椭圆有两顶点A(-l, 0)、B(l., 0),过其焦点F(O, 1)的直线
12、 1与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交 于点Q.当| CD |二血时，求直线1的方程；2(II)当点P异于A、B两点时，求证： 帀苑 为定值。2解：由已知可得椭圆方程为丄+ /=,设/的方程为y-l = k(X-Ok为/的斜率.则y = kxv2= (2 + k2)x2+ 2kx = O 二+/ =1I 22k122 + k2I=-1 -2+ Jt24-2k2 + 2/、2/2 加 +8 加+加 9(坷-x2y + (x - y2y = .、2 +(2 + 疋)2 (2 + 疋)2 =亍 k./的方程为 =41 x+1或丁 = 一血兀+1为所求.(II)当直线/与兀轴垂直时与题意不符.设直线/的方程为丁 =也+ 1,伙HO且工1),所以戸点坐标为(丄,0) k2k1设C(西，),D(x2,y2),由(I )知 +勺=-p-，XjX2直线AC的方程为y =丄(无+1),直线BD的方程为y =丄匚(兀1)X| +1 1将两直线方程联立，消去用艺二进专因为一1兀2bO）的两个焦点分别为斥（1,0）迅（1,0）,且椭圆C经过 a2占 4 1点户（一，一）3 3（I）求椭圆C的离心率；（II）设过点A（0,2）的直线/与椭圆C交于M、N两点，
