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1、第一节 三角函数的概念与基本运算教 材 面 面 观1角可以看成是一条射线从初始位置(始边)出发，绕着它的端点(顶点)旋转而成的，旋转终止时的射线称为角的终边规定：按_方向旋转所得的角为正角，_方向旋转所得的角为负角，没有旋转的角为_答案逆时针顺时针零角2长度等于半径长的弧所对的圆心角叫_的角；正角的弧度数是一个_，负角的弧度数是一个_，零角的弧度数是_如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么角的弧度数的绝对值是_所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_答案1弧度正数负数0|S|2k，kZ3设是一个任意角，的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离r，则sin_，cos_，tan_.
2、答案4同角三角函数的基本关系式根据三角函数的定义，容易得到如下关系式：(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.答案sin2cos21tan5诱导公式：(1)诱导公式一：sin(2k)_，cos(2k)_，tan(2k)_，kZ.(2)诱导公式二：sin()_，cos()_，tan()_.(3)诱导公式三：sin(2k1)_，cos(2k1)_，tan(2k1)_.(4)诱导公式四：sin()_，cos()_，tan()_，sin()_，cos()_，tan()_.答案(1)sincostan(2)sincostan(3)sincostan(4)cossincotcossincot6诱导公式的记
3、忆方法：2k(kZ)，2的三角函数可概括为：在的同名函数值前面加上一个把看成_时原函数值的符号.，的三角函数可概括为：在的余函数值前面加上一个把看成_时原函数值的符号，也就是常说的“_，符号看象限”答案锐角锐角奇变偶不变考 点 串 串 讲1角的概念的推广角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的如图所示，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆(顺)时针方向旋转到另一位置OB，就形成角.旋转开始时的射线OA就叫角的始边，旋转终止时的射线OB就叫角的终边，射线的端点O就叫做角的顶点掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边现在所说的角实际上是初中平面几何中“角是从一点出发的两条射线所组
4、成的图形”的概念的推广，更强调角是“由一条射线绕着它的端点旋转而成的”这一运动的观点角可以是任意大小的2角的分类角分正角、零角和负角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角当一条射线没有作任何旋转时，我们认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角要特别注意角的旋转方向3在直角坐标系内讨论角(1)角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角(或说这个角属于第几象限)这里强调的“角的顶点为原点，角的始边在x轴的正半轴上”为前提，否则就不能从终边的位置来判断某角属于第几象限(2)如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限(3)象限角是由终边位置落在第几象限而得名，它是
5、特殊的区域角如果用1，2，3，4表示第一、二、三、四象限角，则，分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记下图解有关题就方便多了(4)区域角介于某两条终边间的角集叫做区域角，显然区域角是无数个区间角的集合区域角的写法是：首先依逆时针方向由小到大找到一个区间角，再在两端加2k或k360(kZ)如：2k2k，kZ.4与角终边相同的角的集合|k360，kZ这里应明确：(1)k是整数；(2)是任意角；(3)k360与之间是“”号，如k36030应看成k360(30)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(5)终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍5正确理解
6、角要正确理解“090间的角”、“第一象限角”“锐角”和“小于90的角”这些概念，避免混淆这里应明确“090间的角”指的是一个前闭后开的区间090，后面三种角的集合可分别表示为|k360k36090，kZ，|090，|906弧度制(1)1弧度的角是指等于半径长的圆弧所对的圆心角这里应注意1弧度的角的大小与所取的圆的半径大小无关(2)规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角的弧度数的绝对值|，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径(3)这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制(4)注意比值与所取的半径大小无关，而仅与角的大小有关(5)弧度与角度的换
7、算3602弧度，180弧度1弧度0.01745弧度1弧度()57.305718这里特别强调：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可省略不写，但用度()为单位表示角时，度()就不能省去用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少的形式，例如45.(6)弧长公式，扇形的面积公式l|rS扇lr|r2这里要求掌握上述公式及变形形式，如r.在、r、l、S扇这四个量中，知道其中两个就可以求出其余两个7任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sincostan正弦、余弦、正切分别可
8、以看成是从一个角的集合到一个比值集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这三个函数统称为三角函数这里应明确：，三个比值的大小同点P在角的终边上的位置无关，只同角的大小有关；sin不是sin与的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，实质就是“f(x)”其他两个三角函数记号也是一样(2)特殊角的三角函数角的度数030456090180270360角的弧度数02sin01010cos10101tan01不存在0不存在0(3)三角函数的定义域函数的定义域是函数概念的三要素之一，对三角函数的定义域要引起足够的重视，确定三角函数的定义域要抓住分母为零时比值无意义这一关键因此需要注
9、意当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可得三角函数的定义域.三角函数定义域sin|Rcos|Rtan|k，kZ(4)三角函数线如图所示，设任意角的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与角的终边(当为第一、四象限角时)或其反向延长线(当为第二、三象限角时)相交于点T.把其中单位圆相交的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线(5)三角函数值在各象限的符号，如图所示口诀：一全正二正弦三切四余弦三角函数值的符号是由三角函数的定义导出的，如讨论sin
10、在四个象限的符号时，根据定义sin及r0条件，得sin的符号就取决于y的符号，也就容易得sin在第一、二、三、四象限的符号是“、”另外由三角函数定义和终边相同的角的概念还可以推导出“终边相同的角的三角函数值相等”的结论8同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式sin2cos21tan(2)学会利用方程思想解三角题对于sincos，sincos，sincos这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可以求出(sincos)212sincos(sincos)212sincos(sincos)2(sincos)22(3)关于公式的理解与应用需注意的几个问题基本公式成立的条件sin2
11、cos21对一切R成立；tan仅在k(kZ)时成立这些关系式都是各自定义域范围内的恒等式，例如(1sin)(1sin)cos2，的取值范围变小了同角三角函数的基本关系式反映了同角三角函数之间的内在联系，应注意理解这里的“同角”，如与，2与2，3与3都是同角，例如：sin2cos21，而sin2cos21就不一定成立应用同角三角函数基本关系式，根据问题的需要，要注意它们的灵活变形如可以把sin2cos21变形为cos21sin2，sin21cos2，1sin2cos2.可以把tan变形为sintancos，cos等同角三角函数的基本关系式有着广泛的应用，如可以根据一个角的某一个三角函数值，求出这
12、个角的其他三角函数值，还可以化简三角函数式，以及证明有关的三角恒等式应用平方关系时，因为要开方，所以要根据角的范围确定三角函数值的正负，这一点非常重要一般地，平方关系应少用(最多用一次)并且要早用，这是为了尽量少开方同时方便符号的讨论已知角的某一三角函数值，求该角的其余三角函数值时应注意给定的三角函数值是数字还是字母，以及这个角的象限是否给定了对这类问题的解的情况分以下三种：()如果角的某一个三角函数值与角所在的象限都是给定的，那么只有一组解()如果角的某一个三角函数值给定了，但未给出角所在的象限，那么要先确定角可能在哪些象限，然后分别求出解，一般有两组解()如果角的某一个三角函数值是用字母给出的，而且未给出角所在的象限，那么角可能在四个象限或终边落在坐标轴上，这时可以把具有共性的两个象限的角的三角函数放在一起讨论求解或确定其不存在等9诱导公式(1)学习诱导公式须注意的问题公式中的角，可以是任意角诱导公式可以叙述为：k360(kZ)，180，360的三角函数值，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号为便于记忆，也可简单地说成：“函数名不变，符号看象限”(2)利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数基本步骤是： (3)诱导公式可概括为：k(kZ)的各三角函数值当
